题目
假设同一年级有两个班，一班50名学生，其中20名女生；二班45名学生，其中15名女生，从中任选一个班，然后从中任选一名学生．（1）试求选出的是女生的概率；（2）已知选到的是女生，求此女生是一班的概率．
假设同一年级有两个班，一班50名学生，其中20名女生；二班45名学生，其中15名女生，从中任选一个班，然后从中任选一名学生．
（1）试求选出的是女生的概率；
（2）已知选到的是女生，求此女生是一班的概率．
（1）试求选出的是女生的概率；
（2）已知选到的是女生，求此女生是一班的概率．
题目解答
答案
解：（1）设事件A表示选到一班，事件B表示选到二班，事件C表示选出的是女生，
则P（A）=P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C|A）=$\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$，P（C|B）=$\frac{15}{45}$=$\frac{1}{3}$，
∴由全概率公式得选出的是女生的概率为：
P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{5}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{11}{30}$．
（2）已知选到的是女生，由贝叶斯公式得此女生是一班的概率为：
P（A|B）=$\frac{P（A）P（C|A）}{P（C）}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{2}{5}}{\frac{11}{30}}$=$\frac{6}{11}$．
则P（A）=P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C|A）=$\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$，P（C|B）=$\frac{15}{45}$=$\frac{1}{3}$，
∴由全概率公式得选出的是女生的概率为：
P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{5}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{11}{30}$．
（2）已知选到的是女生，由贝叶斯公式得此女生是一班的概率为：
P（A|B）=$\frac{P（A）P（C|A）}{P（C）}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{2}{5}}{\frac{11}{30}}$=$\frac{6}{11}$．
解析
步骤 1：定义事件
设事件A表示选到一班，事件B表示选到二班，事件C表示选出的是女生。
步骤 2：计算条件概率
P（A）=P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C|A）=$\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$，P（C|B）=$\frac{15}{45}$=$\frac{1}{3}$。
步骤 3：应用全概率公式
由全概率公式得选出的是女生的概率为：
P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{5}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{11}{30}$。
步骤 4：应用贝叶斯公式
已知选到的是女生，由贝叶斯公式得此女生是一班的概率为：
P（A|C）=$\frac{P（A）P（C|A）}{P（C）}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{2}{5}}{\frac{11}{30}}$=$\frac{6}{11}$。
设事件A表示选到一班，事件B表示选到二班，事件C表示选出的是女生。
步骤 2：计算条件概率
P（A）=P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C|A）=$\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$，P（C|B）=$\frac{15}{45}$=$\frac{1}{3}$。
步骤 3：应用全概率公式
由全概率公式得选出的是女生的概率为：
P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{5}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{11}{30}$。
步骤 4：应用贝叶斯公式
已知选到的是女生，由贝叶斯公式得此女生是一班的概率为：
P（A|C）=$\frac{P（A）P（C|A）}{P（C）}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{2}{5}}{\frac{11}{30}}$=$\frac{6}{11}$。