(5) lim _(xarrow 0)((dfrac {{a)^x+(b)^x+(c)^x}(3))}^dfrac (1{x)}(agt 0,bgt 0,cgt 0);

考查要点：本题主要考查指数函数的极限以及对数转换法的应用，涉及泰勒展开或洛必达法则的使用。

解题核心思路：
当遇到形如$\lim_{x \to 0} \left(1 + kx \right)^{1/x}$的极限时，可利用自然对数转换或泰勒展开将其转化为指数函数的形式。本题中，通过展开$a^x, b^x, c^x$并取平均，结合极限公式$\lim_{x \to 0} (1 + kx)^{1/x} = e^k$，即可快速求解。

破题关键点：

1. 泰勒展开：将$a^x, b^x, c^x$展开到一阶，简化表达式。
2. 对数转换：对整体取自然对数，将乘幂转化为线性运算。
3. 极限公式：利用$\lim_{x \to 0} (1 + kx)^{1/x} = e^k$直接得出结果。

步骤1：泰勒展开近似
当$x \to 0$时，$a^x = 1 + x \ln a + o(x)$，同理$b^x = 1 + x \ln b + o(x)$，$c^x = 1 + x \ln c + o(x)$。
将三者相加并除以3，得：
$\frac{a^x + b^x + c^x}{3} = 1 + \frac{x}{3} (\ln a + \ln b + \ln c) + o(x).$

步骤2：对数转换
设原式为$L$，取自然对数：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \left(1 + \frac{x}{3} (\ln a + \ln b + \ln c) + o(x) \right).$

步骤3：应用极限公式
当$x \to 0$时，$\ln(1 + kx) \approx kx$，因此：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \left( \frac{x}{3} (\ln a + \ln b + \ln c) + o(x) \right) = \frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}.$

步骤4：化简结果
$\ln L = \frac{\ln(abc)}{3} \implies L = e^{\frac{\ln(abc)}{3}} = (abc)^{1/3}.$