题目

设函数 y = y(x) 由方程 e^y + 6xy + x^2 - e = 0 确定，求 y''(0)。

设函数 $y = y(x)$ 由方程 $e^y + 6xy + x^2 - e = 0$ 确定，求 $y''(0)$。

题目解答

答案

我们来解决这个题目：

题目：

设函数 $ y = y(x) $ 由方程
$e^y + 6xy + x^2 - e = 0$
确定，求 $ y''(0) $。

第一步：理解题意

这是一个隐函数求导问题。我们已知一个关于 $ x $ 和 $ y $ 的方程，其中 $ y $ 是 $ x $ 的函数。我们要对这个方程进行两次求导，然后代入 $ x = 0 $ 求出 $ y''(0) $。

第二步：隐函数求导

原方程：
$e^y + 6xy + x^2 - e = 0 \tag{1}$

1. 求一阶导数 $ y'(x) $

对两边关于 $ x $ 求导：

  • $ \frac{d}{dx} e^y = e^y \cdot y' $
  • $ \frac{d}{dx} (6xy) = 6y + 6x y' $
  • $ \frac{d}{dx} x^2 = 2x $
  • $ \frac{d}{dx} e = 0 $

所以：
$e^y y' + 6y + 6x y' + 2x = 0 \tag{2}$

整理得到：
$(e^y + 6x) y' + 6y + 2x = 0$

解出 $ y' $：
$y' = -\frac{6y + 2x}{e^y + 6x} \tag{3}$

2. 求二阶导数 $ y''(x) $

对 (2) 式再次求导：

原式：
$e^y y' + 6y + 6x y' + 2x = 0$

我们对每一项求导：

  • $ \frac{d}{dx} (e^y y') = e^y y'^2 + e^y y'' $ （链式法则）
  • $ \frac{d}{dx} (6y) = 6y' $
  • $ \frac{d}{dx} (6x y') = 6y' + 6x y'' $
  • $ \frac{d}{dx} (2x) = 2 $

所以：
$e^y y'^2 + e^y y'' + 6y' + 6y' + 6x y'' + 2 = 0$

整理：
$e^y y'^2 + e^y y'' + 12y' + 6x y'' + 2 = 0 \tag{4}$

将含有 $ y'' $ 的项放在一起：
$(e^y + 6x) y'' + e^y y'^2 + 12y' + 2 = 0$

解出 $ y'' $：
$y'' = -\frac{e^y y'^2 + 12y' + 2}{e^y + 6x} \tag{5}$

第三步：代入 $ x = 0 $

我们要求的是 $ y''(0) $，所以代入 $ x = 0 $。

1. 先求 $ y(0) $

将 $ x = 0 $ 代入原方程 (1)：
$e^y + 0 + 0 - e = 0 \Rightarrow e^y = e \Rightarrow y = 1$

所以：
$y(0) = 1$

2. 求 $ y'(0) $

代入 $ x = 0, y = 1 $ 到 (3) 式：

$y' = -\frac{6y + 2x}{e^y + 6x} = -\frac{6 \cdot 1 + 2 \cdot 0}{e^1 + 6 \cdot 0} = -\frac{6}{e}$

所以：
$y'(0) = -\frac{6}{e}$

3. 求 $ y''(0) $

代入 $ x = 0, y = 1, y' = -\frac{6}{e} $ 到 (5) 式：

  • $ e^y = e $
  • $ y'^2 = \left(-\frac{6}{e}\right)^2 = \frac{36}{e^2} $
  • $ 12y' = 12 \cdot \left(-\frac{6}{e}\right) = -\frac{72}{e} $

所以：
$y'' = -\frac{e \cdot \frac{36}{e^2} - \frac{72}{e} + 2}{e + 0} = -\frac{\frac{36}{e} - \frac{72}{e} + 2}{e} = -\frac{-\frac{36}{e} + 2}{e} = -\left( -\frac{36}{e^2} + \frac{2}{e} \right) = \frac{36}{e^2} - \frac{2}{e}$

最终答案：

$\boxed{y''(0) = \frac{36}{e^2} - \frac{2}{e}}$

如需数值近似，也可以计算：

  • $ e \approx 2.718 $
  • $ \frac{36}{e^2} \approx \frac{36}{7.389} \approx 4.873 $
  • $ \frac{2}{e} \approx 0.736 $
  • 所以 $ y''(0) \approx 4.873 - 0.736 = 4.137 $

答：

$\boxed{y''(0) = \frac{36}{e^2} - \frac{2}{e}}$

解析

考查要点：本题主要考查隐函数的高阶导数计算，涉及一阶导数、二阶导数的求解，以及代入特定点的值进行计算。

解题核心思路：

  1. 隐函数求导：对原方程两边关于$x$求导，通过链式法则和乘积法则逐步展开，解出$y'$和$y''$的表达式。
  2. 代入特定点：先求出$x=0$时对应的$y(0)$，再依次代入求得$y'(0)$和$y''(0)$。

破题关键点：

  • 正确应用求导法则：注意隐函数求导时，$y$是$x$的函数，需使用链式法则和乘积法则。
  • 代数整理：将求导后的方程整理为关于$y'$或$y''$的表达式，避免计算错误。
  • 代入顺序：先求$y(0)$，再代入求$y'(0)$，最后代入求$y''(0)$，确保每一步的值准确。

步骤1：求$y(0)$

将$x=0$代入原方程：
$e^y + 0 + 0 - e = 0 \implies e^y = e \implies y = 1.$
因此，$y(0) = 1$。

步骤2：求一阶导数$y'(x)$

对原方程$e^y + 6xy + x^2 - e = 0$两边关于$x$求导：
$e^y y' + 6y + 6x y' + 2x = 0.$
整理得：
$(e^y + 6x) y' + 6y + 2x = 0 \implies y' = -\frac{6y + 2x}{e^y + 6x}.$

步骤3：求二阶导数$y''(x)$

对一阶导数方程再次求导：
$\frac{d}{dx} \left( e^y y' + 6y + 6x y' + 2x \right) = 0.$
逐项求导并整理：
$e^y y'^2 + e^y y'' + 12y' + 6x y'' + 2 = 0.$
将含$y''$的项合并：
$(e^y + 6x) y'' + e^y y'^2 + 12y' + 2 = 0 \implies y'' = -\frac{e^y y'^2 + 12y' + 2}{e^y + 6x}.$

步骤4：代入$x=0$求$y''(0)$

  1. 代入$y(0)=1$和$y'(0)$：
    $y'(0) = -\frac{6 \cdot 1 + 0}{e + 0} = -\frac{6}{e}.$
  2. 代入$y''$的表达式：
    $y''(0) = -\frac{e \cdot \left( \frac{36}{e^2} \right) + 12 \cdot \left( -\frac{6}{e} \right) + 2}{e} = -\frac{\frac{36}{e} - \frac{72}{e} + 2}{e} = \frac{36}{e^2} - \frac{2}{e}.$