题目
1.已知向量组-|||-(0) 3 (2) (2) 0-|||-.:(a)_(1)= |,_(2)= |,_(3)= .:(b)_(1)= 、= .b、=-|||-1 0 3 1 -2-|||-2 1 0 1 I-|||-3 2 1 2 1-|||-证明向量组B能由向量组A线性表示,但向量组A不能由向量组B线性表示.-|||-2.已知向量组-|||-0 (1) (-1) 1) 3-|||-A:a1= 1 ,a2= 1 ; B:b1= 0 ,b2= 2 ,b3= 2-|||-1) 1 1 -1
题目解答
答案
见答案
证明:由题意得,A,B都是三维向量组,且秩(A)=3,秩(B)=2,所以B能由A线性表示.由秩(A)=3,秩(B)=2,知A,B不等价,从而A不能由B线性表示.
证明:由题意得,A,B都是三维向量组,且秩(A)=3,秩(B)=2,所以B能由A线性表示.由秩(A)=3,秩(B)=2,知A,B不等价,从而A不能由B线性表示.
解析
步骤 1：计算向量组A的秩
向量组A由向量${a}_{1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, ${a}_{2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$, ${a}_{3}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$组成。为了计算向量组A的秩，我们构造矩阵$A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$，并计算其秩。
步骤 2：计算向量组B的秩
向量组B由向量${b}_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, ${b}_{2}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, ${b}_{3}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$组成。为了计算向量组B的秩，我们构造矩阵$B=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，并计算其秩。
步骤 3：判断向量组B能否由向量组A线性表示
如果向量组B的秩小于向量组A的秩，那么向量组B能由向量组A线性表示。
步骤 4：判断向量组A能否由向量组B线性表示
如果向量组A的秩大于向量组B的秩，那么向量组A不能由向量组B线性表示。
向量组A由向量${a}_{1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, ${a}_{2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$, ${a}_{3}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$组成。为了计算向量组A的秩，我们构造矩阵$A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$，并计算其秩。
步骤 2：计算向量组B的秩
向量组B由向量${b}_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, ${b}_{2}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, ${b}_{3}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$组成。为了计算向量组B的秩，我们构造矩阵$B=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，并计算其秩。
步骤 3：判断向量组B能否由向量组A线性表示
如果向量组B的秩小于向量组A的秩，那么向量组B能由向量组A线性表示。
步骤 4：判断向量组A能否由向量组B线性表示
如果向量组A的秩大于向量组B的秩，那么向量组A不能由向量组B线性表示。