题目
某工厂生产A、B两种产品,产品A每公斤可获利0.6元,产品B每公斤可获利-|||-0.4元,制x公斤的A种产品和y公斤B种产品的成本函数为 C(x,y)=10000+x+-|||-dfrac ({x)^2}(6000)+y, 而该厂每月的制造预算是20000(元),如何分配两种产品的产量可使月利润-|||-最大? __
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义目标函数和约束条件
目标函数为 L(x,y)=0.6x+0.4y ，表示生产A和B两种产品的总利润。约束条件为 $x+\dfrac {{x}^{2}}{6000}+y=10000$ ，表示生产A和B两种产品的总成本等于10000元。
步骤 2：构造拉格朗日函数
构造拉格朗日函数为 $F(x,y,\lambda)=0.6x+0.4y+\lambda (10000-x-\dfrac {{x}^{2}}{6000}-y)$ ，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘子。
步骤 3：求解拉格朗日函数的偏导数
令 ${F}_{x}'=0.6-\lambda -\dfrac {x}{3000}\lambda =0$ ，${F}_{y}'=0.4-\lambda =0$ ，${F}_{\lambda}'=10000-x-\dfrac {{x}^{2}}{6000}-y=0$ ，得到方程组。
步骤 4：求解方程组
解方程组得到唯一驻点 x=1500 ，y=8125 。
步骤 5：验证实际意义
由实际意义可知，当 x=1500 ，y=8125 时，利润达到最大。
目标函数为 L(x,y)=0.6x+0.4y ，表示生产A和B两种产品的总利润。约束条件为 $x+\dfrac {{x}^{2}}{6000}+y=10000$ ，表示生产A和B两种产品的总成本等于10000元。
步骤 2：构造拉格朗日函数
构造拉格朗日函数为 $F(x,y,\lambda)=0.6x+0.4y+\lambda (10000-x-\dfrac {{x}^{2}}{6000}-y)$ ，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘子。
步骤 3：求解拉格朗日函数的偏导数
令 ${F}_{x}'=0.6-\lambda -\dfrac {x}{3000}\lambda =0$ ，${F}_{y}'=0.4-\lambda =0$ ，${F}_{\lambda}'=10000-x-\dfrac {{x}^{2}}{6000}-y=0$ ，得到方程组。
步骤 4：求解方程组
解方程组得到唯一驻点 x=1500 ，y=8125 。
步骤 5：验证实际意义
由实际意义可知，当 x=1500 ，y=8125 时，利润达到最大。