设随机变量X的概率密度为f(x)=(1)/(pi(1+x^2)),则Y=sqrt[3](X)的概率密度为: ( )A. f(x)=(3y^2)/(pi(1+y^6))B. f(x)=(y)/(pi(1+y^6))C. f(x)=(3y)/(pi(1+y^6))D. f(x)=(3)/(pi(1+y^6))

本题考查随机变量函数的概率密度的求解，解题思路是先求出随机变量$Y$的分布函数$F_Y(y)$，再对其求导得到$Y$的概率密度$f_Y(y)$。

1. 求$Y$的分布函数$F_Y(y)$：
   已知$Y = \sqrt[3]{X}$，根据分布函数的定义$F_Y(y)=P(Y\leq y)$，将$Y = \sqrt[3]{X}$代入可得：
   $F_Y(y)=P(\sqrt[3]{X}\leq y)=P(X\leq y^3)$
   又因为$P(X\leq y^3)$可由$X$的概率密度$f(x)$通过积分表示，即$P(X\leq y^3)=\int_{-\infty}^{y^3}f(x)dx$，已知$f(x)=\frac{1}{\pi(1 + x^2)}$，所以$F_Y(y)=\int_{-\infty}^{y^3}\frac{1}{\pi(1 + x^2)}dx$。
2. 对$F_Y(y)$求导得到$Y$的概率密度$f_Y(y)$：
   根据变上限积分求导法则，若$F(y)=\int_{-\infty}^{\varphi(y)}f(x)dx$，则$F^\prime(y)=f(\varphi(y))\cdot\varphi^\prime(y)$。
   在$F_Y(y)=\int_{-\infty}^{y^3}\frac{1}{\pi(1 + x^2)}dx$中，$\varphi(y)=y^3$，$\varphi^\prime(y)=(y^3)^\prime = 3y^2$，$f(x)=\frac{1}{\pi(1 + x^2)}$，所以$f_Y(y)=F_Y^\prime(y)=\frac{1}{\pi(1 + (y^3)^2)}\cdot 3y^2$。
3. 化简$f_Y(y)$：
   对$f_Y(y)=\frac{1}{\pi(1 + (y^3)^2)}\cdot 3y^2$进行化简，根据幂的运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(y^3)^2=y^{3\times2}=y^6$，则$f_Y(y)=\frac{3y^2}{\pi(1 + y^6)}$。