题目

12. (10.0分) 设随机变量X具有概率密度 f(x)=}(1)/(2)cos x,|x|<(pi)/(2),0,其他,则F(X)为 A F(x)=}0,x<(pi)/(2)1)/(2)(1+sin x),-(pi)/(2)le x<(pi)/(2)1)/(2),xge(pi)/(2) B F(x)=}0,x<(pi)/(2)1)/(3)(1+sin x),-(pi)/(2)le x<(pi)/(2)1)/(2),xge(pi)/(2) C F(x)=}0,x<(pi)/(2)1)/(2)(1+sin x),-(pi)/(2)le x<(pi)/(2)1)/(2),x>(pi)/(2)

12. (10.0分) 设随机变量X具有概率密度 $f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}\cos x,|x|<\frac{\pi}{2},\\0,其他\end{cases}$,则F(X)为 A $F(x)=\begin{cases}0,x<\frac{\pi}{2}\\\frac{1}{2}(1+\sin x),-\frac{\pi}{2}\le x<\frac{\pi}{2}\\\frac{1}{2},x\ge\frac{\pi}{2}\end{cases}$ B $F(x)=\begin{cases}0,x<\frac{\pi}{2}\\\frac{1}{3}(1+\sin x),-\frac{\pi}{2}\le x<\frac{\pi}{2}\\\frac{1}{2},x\ge\frac{\pi}{2}\end{cases}$ C $F(x)=\begin{cases}0,x<\frac{\pi}{2}\\\frac{1}{2}(1+\sin x),-\frac{\pi}{2}\le x<\frac{\pi}{2}\\\frac{1}{2},x>\frac{\pi}{2}\end{cases}$

题目解答

答案

设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} \cos x, & |x| < \frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。
分布函数 $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$，分情况讨论：

  1. 当 $x < -\frac{\pi}{2}$ 时：
    $f(t) = 0$（$t \leq x$），故 $F(x) = 0$。

  2. 当 $-\frac{\pi}{2} \leq x < \frac{\pi}{2}$ 时：
    $F(x) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^x \frac{1}{2} \cos t \, dt = \frac{1}{2} (1 + \sin x)$。

  3. 当 $x \geq \frac{\pi}{2}$ 时：
    $F(x) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \cos t \, dt = 1$。

综上，分布函数为：
$F(x) = \begin{cases} 0, & x < -\frac{\pi}{2}, \\ \frac{1}{2} (1 + \sin x), & -\frac{\pi}{2} \leq x < \frac{\pi}{2}, \\ 1, & x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}$

答案： $\boxed{A}$