设 y = f(x)，已知 lim_(x to 0) (f(x_0)- f(x_0 + 2x))/(6x) = 3，则 dy big|_(x = x_0) = ( )A. -9dxB. 18dxC. -3dxD. 2dx

解析

本题考查导数的定义以及微分的计算。解题的关键在于通过对已知极限式子进行变形，使其符合导数的定义形式，从而求出函数在某点的导数，再根据微分的定义求出该点的微分。

1. 根据导数的定义对已知极限式子进行变形：
   • 导数的定义为$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$。
   • 已知\(\lim\limits_{x已知极限式子进行变形： \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 + 对已知极限式子进行变形： $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 + 2x)}{6x}$，为了凑出导数定义的形式，我们可以将其变形为$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x_0 + 2x) - f(x_0)}{-6x}$。
   • 令$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x_0 + 2x) - f(x_0)}{-6x}=\frac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x_0 + 2x) - f(x_0)}{-6x\times\frac{1}{3}}$。
   • 令$\Delta x = 2x$，当$x \to 0$时，$\Delta x \to 0$，则$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x_0 + 2x) - f(x_0)}{2x}=f^\prime(x_0)$。
   • 所以$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x_0 + 2x) - f(x_0)}{-6x}=-\frac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x_0 + 2x) - f(x_0)}{2x}=-\frac{1}{3}f^\prime(x_0)$。
2. 根据已知条件求出$f^\prime(x_0)$：
   • 已知$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 + 2x)}{6x} = 3$，即$-\frac{1}{3}f^\prime(x_0)=3$。
   • 等式两边同时乘以$-3$，可得$f^\prime(x_0)=3\times(-3)= - 9$。
3. 根据微分的定义求出$dy\big|_{x = x_0}$：
   • 函数$y = f(x)$在点$x$处的微分定义为$dy = f^\prime(x)dx$。
   • 那么在$x = x_0$处的微分为$dy\big|_{x = x_0}=f^\prime(x_0)dx$。
   • 把$f^\prime(x_0)= - 9$代入可得$dy\big|_{x = x_0}=-9dx$。