题目
三、计算题-|||-1、光滑圆盘面上有一质量为m的物体A,拴在一根穿过圆盘中心O处光滑小孔的细绳上,-|||-如图所示.开始时,该物体距圆盘中心O的距离为r0,并以角速度w0绕盘心O作圆周运动,现-|||-向下拉绳,当质点A的径向距离由r0减少到 dfrac (1)(2)(r)_(0) 时,向下拉的速度为v,求下拉过程中拉力-|||-所作的功.-|||-0
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定角动量守恒
物体A在光滑圆盘面上绕中心O作圆周运动，由于拉力通过圆盘中心O，因此物体A对O的角动量守恒。初始时，物体A的角动量为 $m{r}_{0}{v}_{0}$，其中 ${v}_{0}={w}_{0}{r}_{0}$。当物体A的径向距离减少到 $\dfrac {1}{2}{r}_{0}$ 时，其角动量为 $m{r}_{1}{v}_{1}$，其中 ${r}_{1}=\dfrac {1}{2}{r}_{0}$。根据角动量守恒定律，有 $m{r}_{0}{v}_{0}=m{r}_{1}{v}_{1}$，即 ${v}_{1}=2{v}_{0}$。
步骤 2：计算拉力所做的功
拉力所做的功等于物体动能的变化量。初始时，物体的动能为 $\dfrac {1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$。当物体的径向距离减少到 $\dfrac {1}{2}{r}_{0}$ 时，其动能为 $\dfrac {1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$。因此，拉力所做的功为 $\dfrac {1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\dfrac {1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$。由于 ${v}_{1}=2{v}_{0}$，所以拉力所做的功为 $\dfrac {1}{2}m(4{{v}_{0}}^{2})-\dfrac {1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=1/2m(3{{v}_{0}}^{2})$。同时，由于拉力还对物体做了额外的功，即 $\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$，因此拉力所做的总功为 $1/2m(3{{v}_{0}}^{2})+\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$。
物体A在光滑圆盘面上绕中心O作圆周运动，由于拉力通过圆盘中心O，因此物体A对O的角动量守恒。初始时，物体A的角动量为 $m{r}_{0}{v}_{0}$，其中 ${v}_{0}={w}_{0}{r}_{0}$。当物体A的径向距离减少到 $\dfrac {1}{2}{r}_{0}$ 时，其角动量为 $m{r}_{1}{v}_{1}$，其中 ${r}_{1}=\dfrac {1}{2}{r}_{0}$。根据角动量守恒定律，有 $m{r}_{0}{v}_{0}=m{r}_{1}{v}_{1}$，即 ${v}_{1}=2{v}_{0}$。
步骤 2：计算拉力所做的功
拉力所做的功等于物体动能的变化量。初始时，物体的动能为 $\dfrac {1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$。当物体的径向距离减少到 $\dfrac {1}{2}{r}_{0}$ 时，其动能为 $\dfrac {1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$。因此，拉力所做的功为 $\dfrac {1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\dfrac {1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$。由于 ${v}_{1}=2{v}_{0}$，所以拉力所做的功为 $\dfrac {1}{2}m(4{{v}_{0}}^{2})-\dfrac {1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=1/2m(3{{v}_{0}}^{2})$。同时，由于拉力还对物体做了额外的功，即 $\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$，因此拉力所做的总功为 $1/2m(3{{v}_{0}}^{2})+\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$。