题目
设三阶方阵A的三个特征值为λ1=λ2=1，λ3=λ2，向量β1=（1,2,2）’，β2=（2,1，-2）'及β3=β1+β2=（3,3,0）’都是A的特征向量，则下列结论正确的是（）。A. β1β2β3都属于特征值λ1=1的特征向量B. β1β2是属于特征值λ1=1的特征向量，而β3是属于特征值λ3=2的特征向量C. 由题设条件不能得出肯定判断D. 题设诸条件不相容
设三阶方阵A的三个特征值为λ1=λ2=1，λ3=λ2，向量β1=（1,2,2）’，β2=（2,1，-2）'及β3=β1+β2=（3,3,0）’都是A的特征向量，则下列结论正确的是（）。
A. β1β2β3都属于特征值λ1=1的特征向量
B. β1β2是属于特征值λ1=1的特征向量，而β3是属于特征值λ3=2的特征向量
C. 由题设条件不能得出肯定判断
D. 题设诸条件不相容
题目解答
答案
D. 题设诸条件不相容
解析
步骤 1：分析特征值和特征向量的关系
根据题设，三阶方阵A的三个特征值为λ1=λ2=1，λ3=λ2。向量β1=（1,2,2）’，β2=（2,1，-2）'及β3=β1+β2=（3,3,0）’都是A的特征向量。特征向量β1和β2属于特征值λ1=λ2=1，而β3=β1+β2，即β3是β1和β2的线性组合。根据特征值和特征向量的性质，如果β1和β2是属于同一个特征值的特征向量，那么它们的线性组合β3也应属于该特征值。因此，β3也应属于特征值λ1=λ2=1。
步骤 2：分析特征值λ3=λ2
根据题设，λ3=λ2，即λ3=1。因此，β3也应属于特征值λ3=1。然而，根据题设，β3=β1+β2，而β1和β2是属于特征值λ1=λ2=1的特征向量，因此β3也应属于特征值λ1=λ2=1。这与题设条件矛盾，因为β3不能同时属于特征值λ1=λ2=1和λ3=λ2=1。
步骤 3：得出结论
由于β3不能同时属于特征值λ1=λ2=1和λ3=λ2=1，因此题设诸条件不相容。
根据题设，三阶方阵A的三个特征值为λ1=λ2=1，λ3=λ2。向量β1=（1,2,2）’，β2=（2,1，-2）'及β3=β1+β2=（3,3,0）’都是A的特征向量。特征向量β1和β2属于特征值λ1=λ2=1，而β3=β1+β2，即β3是β1和β2的线性组合。根据特征值和特征向量的性质，如果β1和β2是属于同一个特征值的特征向量，那么它们的线性组合β3也应属于该特征值。因此，β3也应属于特征值λ1=λ2=1。
步骤 2：分析特征值λ3=λ2
根据题设，λ3=λ2，即λ3=1。因此，β3也应属于特征值λ3=1。然而，根据题设，β3=β1+β2，而β1和β2是属于特征值λ1=λ2=1的特征向量，因此β3也应属于特征值λ1=λ2=1。这与题设条件矛盾，因为β3不能同时属于特征值λ1=λ2=1和λ3=λ2=1。
步骤 3：得出结论
由于β3不能同时属于特征值λ1=λ2=1和λ3=λ2=1，因此题设诸条件不相容。