题目
设函数f(x)在 (-infty ,+infty ) 上连续,且 (x)=(x)^2-x(int )_(0)^1f(x)dx, 则f(x)为 (-|||-A. ^2-dfrac (2)(9)x B. ^2+dfrac (2)(9)x C. ^2-dfrac (1)(9)x D. ^2+dfrac (1)(9)x
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义积分常数
设 ${\int }_{0}^{1}f(x)dx=A$，则原方程可以写为 $f(x)={x}^{2}-Ax$。
步骤 2：计算积分
将 $f(x)={x}^{2}-Ax$ 代入 ${\int }_{0}^{1}f(x)dx$，得到 ${\int }_{0}^{1}({x}^{2}-Ax)dx$。
步骤 3：求解积分
计算积分 ${\int }_{0}^{1}({x}^{2}-Ax)dx$，得到 $\left[\dfrac{{x}^{3}}{3}-\dfrac{A{x}^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{A}{2}$。
步骤 4：建立方程
根据步骤 1 和步骤 3，得到 $A=\dfrac{1}{3}-\dfrac{A}{2}$。
步骤 5：求解方程
解方程 $A=\dfrac{1}{3}-\dfrac{A}{2}$，得到 $A=\dfrac{2}{9}$。
步骤 6：代入原方程
将 $A=\dfrac{2}{9}$ 代入 $f(x)={x}^{2}-Ax$，得到 $f(x)={x}^{2}-\dfrac{2}{9}x$。
设 ${\int }_{0}^{1}f(x)dx=A$，则原方程可以写为 $f(x)={x}^{2}-Ax$。
步骤 2：计算积分
将 $f(x)={x}^{2}-Ax$ 代入 ${\int }_{0}^{1}f(x)dx$，得到 ${\int }_{0}^{1}({x}^{2}-Ax)dx$。
步骤 3：求解积分
计算积分 ${\int }_{0}^{1}({x}^{2}-Ax)dx$，得到 $\left[\dfrac{{x}^{3}}{3}-\dfrac{A{x}^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{A}{2}$。
步骤 4：建立方程
根据步骤 1 和步骤 3，得到 $A=\dfrac{1}{3}-\dfrac{A}{2}$。
步骤 5：求解方程
解方程 $A=\dfrac{1}{3}-\dfrac{A}{2}$，得到 $A=\dfrac{2}{9}$。
步骤 6：代入原方程
将 $A=\dfrac{2}{9}$ 代入 $f(x)={x}^{2}-Ax$，得到 $f(x)={x}^{2}-\dfrac{2}{9}x$。