设函数f(x)在 (-infty ,+infty ) 上连续,且 (x)=(x)^2-x(int )_(0)^1f(x)dx, 则f(x)为 (-|||-A. ^2-dfrac (2)(9)x B. ^2+dfrac (2)(9)x C. ^2-dfrac (1)(9)x D. ^2+dfrac (1)(9)x

本题考查积分方程的求解，核心思路是将积分视为常数。题目中函数$f(x)$的表达式包含自身在区间$[0,1]$上的积分，需通过设未知数、代入方程的方法求解。

关键点：

1. 设$\int_{0}^{1} f(x)dx = A$，将积分转化为常数。
2. 将$f(x)$的表达式代入积分，建立关于$A$的方程。
3. 解方程求出$A$，最终确定$f(x)$的具体形式。

1. 设积分结果为常数
   令$A = \int_{0}^{1} f(x)dx$，则原式可改写为：
   $f(x) = x^2 - A x.$

2. 代入积分表达式
   将$f(x) = x^2 - A x$代入$A$的定义式：
   $A = \int_{0}^{1} (x^2 - A x) dx.$

3. 分项计算积分
   分解积分：
   $A = \int_{0}^{1} x^2 dx - A \int_{0}^{1} x dx.$

4. 计算具体积分值

   • $\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}$
   • $\int_{0}^{1} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$
     代入得：
     $A = \frac{1}{3} - A \cdot \frac{1}{2}.$

5. 解方程求$A$
   移项整理：
   $A + \frac{A}{2} = \frac{1}{3} \implies \frac{3A}{2} = \frac{1}{3} \implies A = \frac{2}{9}.$

6. 确定$f(x)$的表达式
   将$A = \frac{2}{9}$代入$f(x)$：
   $f(x) = x^2 - \frac{2}{9}x.$