题目
不定积分《如果在区间I内任一点，都有F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I上的原函数。如果在某区间上F（x）是f(x)的一个原函数，则把f（x）的所有原函数F（x）+C称为f（x）在该区间上的不定积分。》int (2)/(x^3) dx结果为()A. int (2)/(x^3) dx = -(1)/(2x^2) + CB. int (2)/(x^3) dx = -(1)/(x^2) + CC. int (2)/(x^3) dx = (1)/(2x^2) + CD. int (2)/(x^3) dx = -(1)/(x^3) + C
不定积分《如果在区间I内任一点，都有F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I上的原函数。如果在某区间上F（x）是f(x)的一个原函数，则把f（x）的所有原函数F（x）+C称为f（x）在该区间上的不定积分。》$\int \frac{2}{x^3} dx$结果为()
A. $\int \frac{2}{x^3} dx = -\frac{1}{2x^2} + C$
B. $\int \frac{2}{x^3} dx = -\frac{1}{x^2} + C$
C. $\int \frac{2}{x^3} dx = \frac{1}{2x^2} + C$
D. $\int \frac{2}{x^3} dx = -\frac{1}{x^3} + C$
题目解答
答案
B. $\int \frac{2}{x^3} dx = -\frac{1}{x^2} + C$
解析
步骤 1：将被积函数写成幂函数形式
将 $\frac{2}{x^3}$ 写成幂函数形式，即 $2x^{-3}$。
步骤 2：应用幂函数的积分公式
根据幂函数的积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中 $n \neq -1$，对 $2x^{-3}$ 进行积分。
步骤 3：计算积分结果
将 $n = -3$ 代入积分公式，得到 $\int 2x^{-3} \, dx = 2 \left( \frac{x^{-3+1}}{-3+1} \right) + C = 2 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + C = 2 \left( -\frac{1}{2x^2} \right) + C = -\frac{1}{x^2} + C$。
将 $\frac{2}{x^3}$ 写成幂函数形式，即 $2x^{-3}$。
步骤 2：应用幂函数的积分公式
根据幂函数的积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中 $n \neq -1$，对 $2x^{-3}$ 进行积分。
步骤 3：计算积分结果
将 $n = -3$ 代入积分公式，得到 $\int 2x^{-3} \, dx = 2 \left( \frac{x^{-3+1}}{-3+1} \right) + C = 2 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + C = 2 \left( -\frac{1}{2x^2} \right) + C = -\frac{1}{x^2} + C$。