1. 已知 y=x^3-x ，计算在 x=2 处当 Delta x 分别等于 1，0.1，0.01 时的triangle y 及dy。

步骤 1：计算 $\Delta y$ 当 $\Delta x = 1$
首先，根据给定的函数 $y = x^3 - x$，我们需要计算当 $x = 2$ 且 $\Delta x = 1$ 时的 $\Delta y$。$\Delta y$ 的定义是 $y$ 的变化量，即 $y(x + \Delta x) - y(x)$。因此，我们有：
$$
\Delta y = y(2 + 1) - y(2) = (3^3 - 3) - (2^3 - 2) = 24 - 6 = 18
$$
步骤 2：计算 $dy$ 当 $\Delta x = 1$
$dy$ 是微分，表示函数在某一点的线性近似变化量。$dy$ 可以通过函数的导数乘以 $\Delta x$ 来计算。首先，我们需要计算函数 $y = x^3 - x$ 的导数：
$$
\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1
$$
然后，将 $x = 2$ 和 $\Delta x = 1$ 代入导数公式中计算 $dy$：
$$
dy = (3 \cdot 2^2 - 1) \cdot 1 = (3 \cdot 4 - 1) \cdot 1 = 11
$$
步骤 3：计算 $\Delta y$ 当 $\Delta x = 0.1$
重复步骤 1 的过程，但这次 $\Delta x = 0.1$：
$$
\Delta y = y(2 + 0.1) - y(2) = (2.1^3 - 2.1) - (2^3 - 2) = 8.611 - 6 = 2.611
$$
步骤 4：计算 $dy$ 当 $\Delta x = 0.1$
重复步骤 2 的过程，但这次 $\Delta x = 0.1$：
$$
dy = (3 \cdot 2^2 - 1) \cdot 0.1 = (3 \cdot 4 - 1) \cdot 0.1 = 1.1
$$
步骤 5：计算 $\Delta y$ 当 $\Delta x = 0.01$
重复步骤 1 的过程，但这次 $\Delta x = 0.01$：
$$
\Delta y = y(2 + 0.01) - y(2) = (2.01^3 - 2.01) - (2^3 - 2) = 8.060601 - 6 = 2.060601
$$
步骤 6：计算 $dy$ 当 $\Delta x = 0.01$
重复步骤 2 的过程，但这次 $\Delta x = 0.01$：
$$
dy = (3 \cdot 2^2 - 1) \cdot 0.01 = (3 \cdot 4 - 1) \cdot 0.01 = 0.11
$$