题目
18.计算曲线积分 =(int )_(1)^2(xsin 2y-cos x)dx+((x)^2cos 2y+sin (y)^2)dy, 其中L是从点-|||-(dfrac (pi )(2),0) 沿曲线 =cos x 到点 (-dfrac (pi )(2),0) 的一端弧.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分路径
曲线积分的路径是从点 $A(\dfrac {\pi }{2},0)$ 沿曲线 $y=\cos x$ 到点 $B(-\dfrac {\pi }{2},0)$。由于积分与路径无关，我们可以选择一条更简单的路径来计算积分，例如直接从点 $A$ 到点 $B$ 的直线路径，其中 $y=0$。
步骤 2：计算积分
由于 $y=0$，我们有 $dy=0$。因此，积分简化为：
$$
I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} (x\sin 2y - \cos x) dx
$$
由于 $y=0$，$\sin 2y = 0$，所以积分进一步简化为：
$$
I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} (-\cos x) dx
$$
步骤 3：计算定积分
计算定积分：
$$
I = -\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \cos x dx = -\left[ \sin x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} = -\left( \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) - \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \right) = -\left( -1 - 1 \right) = 2
$$
曲线积分的路径是从点 $A(\dfrac {\pi }{2},0)$ 沿曲线 $y=\cos x$ 到点 $B(-\dfrac {\pi }{2},0)$。由于积分与路径无关，我们可以选择一条更简单的路径来计算积分，例如直接从点 $A$ 到点 $B$ 的直线路径，其中 $y=0$。
步骤 2：计算积分
由于 $y=0$，我们有 $dy=0$。因此，积分简化为：
$$
I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} (x\sin 2y - \cos x) dx
$$
由于 $y=0$，$\sin 2y = 0$，所以积分进一步简化为：
$$
I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} (-\cos x) dx
$$
步骤 3：计算定积分
计算定积分：
$$
I = -\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \cos x dx = -\left[ \sin x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} = -\left( \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) - \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \right) = -\left( -1 - 1 \right) = 2
$$