题目
4.计算曲面积分J f(x,y,z)dS,其中∑为抛物面 =2-((x)^2+(y)^2) 在xOy-|||-面上方的部分,f(x,y,z)分别如下:-|||-(3) (x,y,z)=3z.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面∑的投影区域
抛物面∑与xOy面的交线为 ${x}^{2}+{y}^{2}=2$ ,故∑在xOy面上的投影区域 ${D}_{xy}=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2\} $ 。
步骤 2：计算曲面元素dS
曲面∑的方程为 $z=2-({x}^{2}+{y}^{2})$，则 $z_x=-2x$，$z_y=-2y$，因此 $dS=\sqrt {1+{{x}_{2}}^{2}+{{z}_{y}}^{2}}dxdy=\sqrt {1+4{x}^{2}+4{y}^{2}}dxdy$。
步骤 3：将曲面积分转化为二重积分
曲面积分 $J=\iint_{\sum}f(x,y,z)dS$ 可以转化为二重积分 $J=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt {1+4{x}^{2}+4{y}^{2}}dxdy$，其中 $f(x,y,z)=3z$，$z=2-({x}^{2}+{y}^{2})$。
步骤 4：计算二重积分
将 $f(x,y,z)=3z$ 代入，得到 $J=\iint_{D_{xy}}3(2-({x}^{2}+{y}^{2}))\sqrt {1+4{x}^{2}+4{y}^{2}}dxdy$。使用极坐标变换 $x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，$dxdy=\rho d\rho d\theta$，则 $J=3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}(2-\rho^2)\sqrt{1+4\rho^2}\rho d\rho d\theta$。
步骤 5：计算积分
$J=3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}(2-\rho^2)\sqrt{1+4\rho^2}\rho d\rho d\theta$，先计算内层积分，再计算外层积分，得到 $J=6\pi\int_{0}^{\sqrt{2}}(2-\rho^2)\sqrt{1+4\rho^2}\rho d\rho$。通过换元法或分部积分法计算积分，得到 $J=\dfrac{111}{10}\pi$。
抛物面∑与xOy面的交线为 ${x}^{2}+{y}^{2}=2$ ,故∑在xOy面上的投影区域 ${D}_{xy}=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2\} $ 。
步骤 2：计算曲面元素dS
曲面∑的方程为 $z=2-({x}^{2}+{y}^{2})$，则 $z_x=-2x$，$z_y=-2y$，因此 $dS=\sqrt {1+{{x}_{2}}^{2}+{{z}_{y}}^{2}}dxdy=\sqrt {1+4{x}^{2}+4{y}^{2}}dxdy$。
步骤 3：将曲面积分转化为二重积分
曲面积分 $J=\iint_{\sum}f(x,y,z)dS$ 可以转化为二重积分 $J=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt {1+4{x}^{2}+4{y}^{2}}dxdy$，其中 $f(x,y,z)=3z$，$z=2-({x}^{2}+{y}^{2})$。
步骤 4：计算二重积分
将 $f(x,y,z)=3z$ 代入，得到 $J=\iint_{D_{xy}}3(2-({x}^{2}+{y}^{2}))\sqrt {1+4{x}^{2}+4{y}^{2}}dxdy$。使用极坐标变换 $x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，$dxdy=\rho d\rho d\theta$，则 $J=3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}(2-\rho^2)\sqrt{1+4\rho^2}\rho d\rho d\theta$。
步骤 5：计算积分
$J=3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}(2-\rho^2)\sqrt{1+4\rho^2}\rho d\rho d\theta$，先计算内层积分，再计算外层积分，得到 $J=6\pi\int_{0}^{\sqrt{2}}(2-\rho^2)\sqrt{1+4\rho^2}\rho d\rho$。通过换元法或分部积分法计算积分，得到 $J=\dfrac{111}{10}\pi$。