题目
10.若 (int )_(-infty )^+infty dfrac (A)(1+{x)^2}dx=1 则常数A等于:-|||-A. dfrac (1)(pi ) B. dfrac (2)(pi ) C. dfrac (pi )(2) D.π
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分的类型
给定的积分是 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\dfrac {A}{1+{x}^{2}}dx$，这是一个在负无穷到正无穷区间上的积分，且被积函数是 $\dfrac {A}{1+{x}^{2}}$。这个函数是偶函数，因为 $\dfrac {A}{1+{x}^{2}}$ 关于 y 轴对称。
步骤 2：利用偶函数的性质简化积分
由于被积函数是偶函数，我们可以将积分简化为 $2{\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {A}{1+{x}^{2}}dx$。这是因为偶函数在对称区间上的积分可以简化为两倍的从零到正无穷的积分。
步骤 3：计算积分
积分 $\int \dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$ 的结果是 $\arctan(x)$。因此，$2{\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {A}{1+{x}^{2}}dx = 2A[\arctan(x)]_{0}^{+\infty} = 2A(\dfrac {\pi }{2} - 0) = A\pi$。
步骤 4：求解常数A
根据题目条件，$A\pi = 1$，解得 $A = \dfrac {1}{\pi}$。
给定的积分是 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\dfrac {A}{1+{x}^{2}}dx$，这是一个在负无穷到正无穷区间上的积分，且被积函数是 $\dfrac {A}{1+{x}^{2}}$。这个函数是偶函数，因为 $\dfrac {A}{1+{x}^{2}}$ 关于 y 轴对称。
步骤 2：利用偶函数的性质简化积分
由于被积函数是偶函数，我们可以将积分简化为 $2{\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {A}{1+{x}^{2}}dx$。这是因为偶函数在对称区间上的积分可以简化为两倍的从零到正无穷的积分。
步骤 3：计算积分
积分 $\int \dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$ 的结果是 $\arctan(x)$。因此，$2{\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {A}{1+{x}^{2}}dx = 2A[\arctan(x)]_{0}^{+\infty} = 2A(\dfrac {\pi }{2} - 0) = A\pi$。
步骤 4：求解常数A
根据题目条件，$A\pi = 1$，解得 $A = \dfrac {1}{\pi}$。