28.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为-|||-,-|||-p(x,y)= ) 3x, 0lt ylt xlt 1 0, .-|||-求X与Y的相关系数.

步骤 1：计算边缘密度函数
为了计算X和Y的相关系数，我们首先需要计算X和Y的边缘密度函数。边缘密度函数可以通过对联合密度函数进行积分得到。
对于X的边缘密度函数，我们有：
$$
f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x,y) dy = \int_{0}^{x} 3x dy = 3x^2, \quad 0 < x < 1
$$
对于Y的边缘密度函数，我们有：
$$
f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x,y) dx = \int_{y}^{1} 3x dx = \frac{3}{2}(1-y^2), \quad 0 < y < 1
$$
步骤 2：计算期望值
接下来，我们需要计算X和Y的期望值。期望值可以通过边缘密度函数进行积分得到。
对于X的期望值，我们有：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx = \int_{0}^{1} x \cdot 3x^2 dx = \frac{3}{4}
$$
对于Y的期望值，我们有：
$$
E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} y f_Y(y) dy = \int_{0}^{1} y \cdot \frac{3}{2}(1-y^2) dy = \frac{1}{4}
$$
步骤 3：计算方差
接下来，我们需要计算X和Y的方差。方差可以通过期望值和边缘密度函数进行积分得到。
对于X的方差，我们有：
$$
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \int_{0}^{1} x^2 \cdot 3x^2 dx - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3}{5} - \frac{9}{16} = \frac{3}{80}
$$
对于Y的方差，我们有：
$$
Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = \int_{0}^{1} y^2 \cdot \frac{3}{2}(1-y^2) dy - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{10} - \frac{1}{16} = \frac{3}{80}
$$
步骤 4：计算协方差
接下来，我们需要计算X和Y的协方差。协方差可以通过联合密度函数进行积分得到。
$$
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} xy \cdot 3x dy dx - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16} - \frac{3}{16} = 0
$$
步骤 5：计算相关系数
最后，我们可以计算X和Y的相关系数。相关系数可以通过协方差和方差进行计算得到。
$$
\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} = \frac{0}{\sqrt{\frac{3}{80} \cdot \frac{3}{80}}} = 0
$$