8.设 u=f(x,y,z) 有连续的偏导数, y=y(x) 和 z=z(x) 分别由方程 ^xy-y=-|||-0和 ^x-xz=0 所确定,求 dfrac (du)(dx).

考查要点：本题主要考查复合函数求导法则与隐函数求导法则的综合应用。
解题思路：

1. 链式法则：由于$u=f(x,y,z)$中的$y$和$z$均为$x$的隐函数，需对$x$、$y$、$z$分别求偏导并组合。
2. 隐函数求导：分别对$e^{xy}-y=0$和$e^x-xz=0$求导，得到$\dfrac{dy}{dx}$和$\dfrac{dz}{dx}$。
   关键点：

• 链式法则展开时注意$y$和$z$对$x$的依赖关系。
• 隐函数求导时正确计算偏导数，并利用原方程化简结果。

1. 应用链式法则展开$\dfrac{du}{dx}$

根据链式法则，复合函数求导公式为：
$\dfrac{du}{dx} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \cdot \dfrac{dx}{dx} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \cdot \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{\partial f}{\partial z} \cdot \dfrac{dz}{dx}$
由于$x$是自变量，$\dfrac{dx}{dx}=1$，因此：
$\dfrac{du}{dx} = \dfrac{\partial f}{\partial x} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \cdot \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{\partial f}{\partial z} \cdot \dfrac{dz}{dx}$

2. 求$\dfrac{dy}{dx}$（由$e^{xy}-y=0$确定）

设$F(x,y)=e^{xy}-y$，根据隐函数求导公式：
$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}$
计算偏导数：

• $F_x = \dfrac{\partial F}{\partial x} = e^{xy} \cdot y$
• $F_y = \dfrac{\partial F}{\partial y} = e^{xy} \cdot x - 1$

代入公式得：
$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{e^{xy} \cdot y}{e^{xy} \cdot x - 1}$
利用原方程$e^{xy}=y$化简：
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y^2}{1 - xy}$

3. 求$\dfrac{dz}{dx}$（由$e^x - xz=0$确定）

设$G(x,z)=e^x - xz$，根据隐函数求导公式：
$\dfrac{dz}{dx} = -\dfrac{G_x}{G_z}$
计算偏导数：

• $G_x = \dfrac{\partial G}{\partial x} = e^x - z$
• $G_z = \dfrac{\partial G}{\partial z} = -x$

代入公式得：
$\dfrac{dz}{dx} = \dfrac{e^x - z}{x}$
利用原方程$e^x = xz$化简：
$\dfrac{dz}{dx} = \dfrac{z(x-1)}{x}$

4. 组合结果

将$\dfrac{dy}{dx}$和$\dfrac{dz}{dx}$代入链式法则展开式：
$\dfrac{du}{dx} = \dfrac{\partial f}{\partial x} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \cdot \dfrac{y^2}{1 - xy} + \dfrac{\partial f}{\partial z} \cdot \dfrac{z(x-1)}{x}$