题目
级数 sum _(n=1)^infty (sqrt (n+2)-2sqrt (n+1)+sqrt (n))= __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：观察级数项
观察级数项 $\sqrt {n+2}-2\sqrt {n+1}+\sqrt {n}$，可以尝试将其分解为两个部分，以便于后续的简化和求和。
步骤 2：分解级数项
将级数项分解为 $(\sqrt {n+2}-\sqrt {n+1})-(\sqrt {n+1}-\sqrt {n})$，这样可以利用差分的性质进行简化。
步骤 3：求和
利用差分的性质，可以将级数求和简化为 $(\sqrt {n+2}-\sqrt {2})-(\sqrt {n+1}-\sqrt {1})$，进一步简化为 $\sqrt {n+2}-\sqrt {n+1}-\sqrt {2}+1$。
步骤 4：求极限
当 $n$ 趋向于无穷大时，级数的和趋向于 $-\sqrt {2}+1$。
观察级数项 $\sqrt {n+2}-2\sqrt {n+1}+\sqrt {n}$，可以尝试将其分解为两个部分，以便于后续的简化和求和。
步骤 2：分解级数项
将级数项分解为 $(\sqrt {n+2}-\sqrt {n+1})-(\sqrt {n+1}-\sqrt {n})$，这样可以利用差分的性质进行简化。
步骤 3：求和
利用差分的性质，可以将级数求和简化为 $(\sqrt {n+2}-\sqrt {2})-(\sqrt {n+1}-\sqrt {1})$，进一步简化为 $\sqrt {n+2}-\sqrt {n+1}-\sqrt {2}+1$。
步骤 4：求极限
当 $n$ 趋向于无穷大时，级数的和趋向于 $-\sqrt {2}+1$。