题目
16.求函数 (x)=dfrac (|x+1|({e)^x-1)}({x)^2+x}-|||-__的间断点,并指出其类型
16.求函数 
的间断点,并指出其类型
题目解答
答案
解:
当
时，即x=-1或x=0时f(x)无定义
∴
∴ 
为f(x)的跳跃间断点
∴
∴x=0为f(x)的可去间断点
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数 $f(x)=\dfrac {|x+1|({e}^{x}-1)}{{x}^{2}+x}$ 的分母为 ${x}^{2}+x$，当 ${x}^{2}+x=0$ 时，函数无定义。解方程 ${x}^{2}+x=0$，得到 $x(x+1)=0$，因此 $x=0$ 或 $x=-1$ 时，函数无定义。
步骤 2：分析间断点的类型
- 对于 $x=-1$，需要分别计算 $x$ 趋近于 $-1$ 的左极限和右极限。
- 对于 $x=0$，同样需要分别计算 $x$ 趋近于 $0$ 的左极限和右极限。
步骤 3：计算 $x=-1$ 时的极限
- 当 $x$ 趋近于 $-1$ 的左侧时，$|x+1|=-(x+1)$，因此 $\lim _{x\rightarrow -{1}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow -{1}^{-}}\dfrac {-(x+1)({e}^{x}-1)}{x(x+1)}=\lim _{x\rightarrow -{1}^{-}}\dfrac {-({e}^{x}-1)}{x}=-({e}^{-1}-1)$。
- 当 $x$ 趋近于 $-1$ 的右侧时，$|x+1|=x+1$，因此 $\lim _{x\rightarrow -{1}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow -{1}^{+}}\dfrac {(x+1)({e}^{x}-1)}{x(x+1)}=\lim _{x\rightarrow -{1}^{+}}\dfrac {{e}^{x}-1}{x}=-({e}^{-1}-1)$。
- 由于 $\lim _{x\rightarrow -{1}^{-}}f(x)\neq \lim _{x\rightarrow -{1}^{+}}f(x)$，因此 $x=-1$ 是函数的跳跃间断点。
步骤 4：计算 $x=0$ 时的极限
- 当 $x$ 趋近于 $0$ 的左侧时，$|x+1|=x+1$，因此 $\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\dfrac {(x+1)({e}^{x}-1)}{x(x+1)}=\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\dfrac {{e}^{x}-1}{x}=1$。
- 当 $x$ 趋近于 $0$ 的右侧时，$|x+1|=x+1$，因此 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {(x+1)({e}^{x}-1)}{x(x+1)}=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {{e}^{x}-1}{x}=1$。
- 由于 $\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)$，因此 $x=0$ 是函数的可去间断点。
函数 $f(x)=\dfrac {|x+1|({e}^{x}-1)}{{x}^{2}+x}$ 的分母为 ${x}^{2}+x$，当 ${x}^{2}+x=0$ 时，函数无定义。解方程 ${x}^{2}+x=0$，得到 $x(x+1)=0$，因此 $x=0$ 或 $x=-1$ 时，函数无定义。
步骤 2：分析间断点的类型
- 对于 $x=-1$，需要分别计算 $x$ 趋近于 $-1$ 的左极限和右极限。
- 对于 $x=0$，同样需要分别计算 $x$ 趋近于 $0$ 的左极限和右极限。
步骤 3：计算 $x=-1$ 时的极限
- 当 $x$ 趋近于 $-1$ 的左侧时，$|x+1|=-(x+1)$，因此 $\lim _{x\rightarrow -{1}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow -{1}^{-}}\dfrac {-(x+1)({e}^{x}-1)}{x(x+1)}=\lim _{x\rightarrow -{1}^{-}}\dfrac {-({e}^{x}-1)}{x}=-({e}^{-1}-1)$。
- 当 $x$ 趋近于 $-1$ 的右侧时，$|x+1|=x+1$，因此 $\lim _{x\rightarrow -{1}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow -{1}^{+}}\dfrac {(x+1)({e}^{x}-1)}{x(x+1)}=\lim _{x\rightarrow -{1}^{+}}\dfrac {{e}^{x}-1}{x}=-({e}^{-1}-1)$。
- 由于 $\lim _{x\rightarrow -{1}^{-}}f(x)\neq \lim _{x\rightarrow -{1}^{+}}f(x)$，因此 $x=-1$ 是函数的跳跃间断点。
步骤 4：计算 $x=0$ 时的极限
- 当 $x$ 趋近于 $0$ 的左侧时，$|x+1|=x+1$，因此 $\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\dfrac {(x+1)({e}^{x}-1)}{x(x+1)}=\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\dfrac {{e}^{x}-1}{x}=1$。
- 当 $x$ 趋近于 $0$ 的右侧时，$|x+1|=x+1$，因此 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {(x+1)({e}^{x}-1)}{x(x+1)}=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {{e}^{x}-1}{x}=1$。
- 由于 $\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)$，因此 $x=0$ 是函数的可去间断点。