题目
设A,B为随机事件,求解下列各题:-|||-(1)已知 (A)=0.7, P(A-B)=0.3-|||-__ __-|||-求 (overline (A)cup overline (B));-|||-(2)已知 (A)=0.3,-|||-(AB)=P(overline (AB)), 求P(B);-|||-__-|||-(3)已知 (A)=P(B)=dfrac (1)(3),-|||-(A|B)=dfrac (1)(6), 求P (A|B);-|||-__ __-|||-(4)已知 (A)=0.5, (B)=0.4,-|||-(A|overline (B))=0.6, 求 (A|Acup overline (B))
题目解答
答案
(1)$$P(A-B)=P(A)-P(AB)=$$$$0.3$$，故$$P(AB)=0.4$$，$$P(\overline{A} \cup \overline{B} )=1-P(AB)$$$$=0.6$$
(2)$$P(A)=0.3$$，$$P(AB)=1-P(A\cup B)$$$$=1-P(A)-P(B)+P(AB)$$，$$P(B)=1-P(A)=0.7$$
(3)$$P(A)=P(B)=\frac{1}{3}$$，$$P(A|B)=\frac{P(AB) }{P(B)}$$$$=\frac{1}{6}$$，$$P(AB)=\frac{1}{18}$$，$$P(\overline{A} |\overline{B})$$$$=\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}$$$$=\frac{1-P(A)-P(B)+P(AB)}{1-P(B)}$$$$=\frac{7}{12}$$
(4)$$P(A)=0.5,P(B)=0.4$$，$$P(A|\overline{B})=\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}$$$$=0.6$$，$$P(AB)=0.36$$，$$P(A|A\cup \overline{B})=$$$$\frac{P(A)}{P(A\cup \overline{B})}$$$$=\frac{P(A)}{P(A)+P(\overline{B})-P(A\overline{B})}$$$$=\frac{25}{37}$$
解析
步骤 1：计算 P(AB)
由题意，$P(A-B)=P(A)-P(AB)$，代入已知条件，得到$0.3=0.7-P(AB)$，从而$P(AB)=0.4$。
步骤 2：计算 $P(\overline {A}\cup \overline {B})$
根据德摩根定律，$P(\overline {A}\cup \overline {B})=1-P(AB)$，代入$P(AB)=0.4$，得到$P(\overline {A}\cup \overline {B})=1-0.4=0.6$。
【答案】
$P(\overline {A}\cup \overline {B})=0.6$
(2)已知 $P(A)=0.3$, $P(AB)=P(\overline {A}B)$ ,求P (B);
【解析】
步骤 1：利用条件概率公式
由题意，$P(AB)=P(\overline {A}B)$，根据条件概率公式，$P(AB)=P(A)P(B|A)$，$P(\overline {A}B)=P(\overline {A})P(B|\overline {A})$。
步骤 2：计算 P(B)
由于$P(A)=0.3$，则$P(\overline {A})=1-P(A)=0.7$。根据$P(AB)=P(\overline {A}B)$，得到$P(A)P(B|A)=P(\overline {A})P(B|\overline {A})$，即$0.3P(B|A)=0.7P(B|\overline {A})$。由于$P(B)=P(AB)+P(\overline {A}B)$，代入$P(AB)=P(\overline {A}B)$，得到$P(B)=2P(AB)$。根据$P(AB)=P(A)P(B|A)$，得到$P(B)=2P(A)P(B|A)$。代入$P(A)=0.3$，得到$P(B)=0.6P(B|A)$。由于$P(B|A)+P(B|\overline {A})=1$，代入$0.3P(B|A)=0.7P(B|\overline {A})$，得到$P(B|A)=0.7$。代入$P(B)=0.6P(B|A)$，得到$P(B)=0.42$。
【答案】
$P(B)=0.42$
(3)已知 $P(A)=P(B)=\dfrac {1}{3}$ = $P(A|B)=\dfrac {1}{6}$ ,求P (A|B);
【解析】
步骤 1：计算 P(AB)
由题意，$P(A|B)=\dfrac {P(AB)}{P(B)}$，代入已知条件，得到$\dfrac {1}{6}=\dfrac {P(AB)}{\dfrac {1}{3}}$，从而$P(AB)=\dfrac {1}{18}$。
步骤 2：计算 P(A|B)
根据条件概率公式，$P(A|B)=\dfrac {P(AB)}{P(B)}$，代入$P(AB)=\dfrac {1}{18}$，$P(B)=\dfrac {1}{3}$，得到$P(A|B)=\dfrac {\dfrac {1}{18}}{\dfrac {1}{3}}=\dfrac {1}{6}$。
由题意，$P(A-B)=P(A)-P(AB)$，代入已知条件，得到$0.3=0.7-P(AB)$，从而$P(AB)=0.4$。
步骤 2：计算 $P(\overline {A}\cup \overline {B})$
根据德摩根定律，$P(\overline {A}\cup \overline {B})=1-P(AB)$，代入$P(AB)=0.4$，得到$P(\overline {A}\cup \overline {B})=1-0.4=0.6$。
【答案】
$P(\overline {A}\cup \overline {B})=0.6$
(2)已知 $P(A)=0.3$, $P(AB)=P(\overline {A}B)$ ,求P (B);
【解析】
步骤 1：利用条件概率公式
由题意，$P(AB)=P(\overline {A}B)$，根据条件概率公式，$P(AB)=P(A)P(B|A)$，$P(\overline {A}B)=P(\overline {A})P(B|\overline {A})$。
步骤 2：计算 P(B)
由于$P(A)=0.3$，则$P(\overline {A})=1-P(A)=0.7$。根据$P(AB)=P(\overline {A}B)$，得到$P(A)P(B|A)=P(\overline {A})P(B|\overline {A})$，即$0.3P(B|A)=0.7P(B|\overline {A})$。由于$P(B)=P(AB)+P(\overline {A}B)$，代入$P(AB)=P(\overline {A}B)$，得到$P(B)=2P(AB)$。根据$P(AB)=P(A)P(B|A)$，得到$P(B)=2P(A)P(B|A)$。代入$P(A)=0.3$，得到$P(B)=0.6P(B|A)$。由于$P(B|A)+P(B|\overline {A})=1$，代入$0.3P(B|A)=0.7P(B|\overline {A})$，得到$P(B|A)=0.7$。代入$P(B)=0.6P(B|A)$，得到$P(B)=0.42$。
【答案】
$P(B)=0.42$
(3)已知 $P(A)=P(B)=\dfrac {1}{3}$ = $P(A|B)=\dfrac {1}{6}$ ,求P (A|B);
【解析】
步骤 1：计算 P(AB)
由题意，$P(A|B)=\dfrac {P(AB)}{P(B)}$，代入已知条件，得到$\dfrac {1}{6}=\dfrac {P(AB)}{\dfrac {1}{3}}$，从而$P(AB)=\dfrac {1}{18}$。
步骤 2：计算 P(A|B)
根据条件概率公式，$P(A|B)=\dfrac {P(AB)}{P(B)}$，代入$P(AB)=\dfrac {1}{18}$，$P(B)=\dfrac {1}{3}$，得到$P(A|B)=\dfrac {\dfrac {1}{18}}{\dfrac {1}{3}}=\dfrac {1}{6}$。