1.已知函数f(x)=(int_(0)^x|sin t|dt)/(x^a)在(0，+∞)上有界，则α的取值范围应为（）A. (0，+∞)B. (0，3]C. [1，2]D. (1，3]

本题考查函数有界性以及积分上限函数的相关知识。解题的关键思路是先分析函数$f(x)$在$x\to0^{+}$和$x\to +\infty$时的极限情况，根据函数有界的定义，这两个极限都应该存在且为有限值，由此确定$\alpha$的取值范围。

1. 分析$x\to0^{+}$时$f(x)$的极限

当$x\to0^{+}$时，$\int_{0}^{x}|\sin t|dt$是积分上限函数，且$\sin t$在$t = 0$附近可近似为$t$（因为$\lim\limits_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1$）。
根据洛必达法则，对于$\frac{0}{0}$型的极限$\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{\int_{0}^{x}|\sin t|dt}{x^{\alpha}}$，对分子分母分别求导。
由变上限积分求导公式$(\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime = f(x)$，可得$(\int_{0}^{x}|\sin t|dt)^\prime = |\sin x|$，$(x^{\alpha})^\prime = \alpha x^{\alpha - 1}$。
则$\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{\int_{0}^{x}|\sin t|dt}{x^{\alpha}}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{|\sin x|}{\alpha x^{\alpha - 1}}$。
因为当$x\to0^{+}$时，$|\sin x|\sim x$，所以$\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{|\sin x|}{\alpha x^{\alpha - 1}}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{x}{\alpha x^{\alpha - 1}}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{1}{\alpha x^{\alpha - 2}}$。
要使该极限存在且为有限值，则$\alpha - 2\leqslant0$，即$\alpha\leqslant2$。

2. 分析$x\to +\infty$时$f(x)$的极限

因为$|\sin t|\geqslant0$，且$|\sin t|$的周期为$\pi$，所以$\int_{0}^{x}|\sin t|dt$是单调递增的。
又因为$\int_{0}^{n\pi}|\sin t|dt = n\int_{0}^{\pi}\sin tdt$，而$\int_{0}^{\pi}\sin tdt = -\cos t\big|_{0}^{\pi}=-(\cos\pi - \cos0)= -(-1 - 1)= 2$，所以$\int_{0}^{n\pi}|\sin t|dt = 2n$。
当$x\to +\infty$时，$\int_{0}^{x}|\sin t|dt\to +\infty$。
要使$f(x)=\frac{\int_{0}^{x}|\sin t|dt}{x^{\alpha}}$在$(0, +\infty)$上有界，则$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$存在且为有限值。
因为$\int_{0}^{x}|\sin t|dt$的增长速度是线性的（每$\pi$个单位长度积分值增加$2$），所以$x^{\alpha}$的增长速度不能比$\int_{0}^{x}|\sin t|dt$慢，即$\alpha\geqslant1$。

3. 综合两个极限情况确定$\alpha$的取值范围

结合$x\to0^{+}$和$x\to +\infty$时的极限情况，可得$1\leqslant\alpha\leqslant2$，即$\alpha$的取值范围是$[1, 2]$。