题目
已知一条曲线经过点 ( 0 , 1 )， 且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标 的平方，则曲线的方程应满足的微分方程为 ________, 其初始条件为 ________, 该微分方程的通解为 ________, 其特解为 _________.
已知一条曲线经过点 ( 0 , 1 )， 且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标 的平方，则曲线的方程应满足的微分方程为 ________, 其初始条件为 ________, 该微分方程的通解为 ________, 其特解为 _________.
题目解答
答案
解：
（1）由曲线上任意一点的切线斜率等于该点横坐标的平方，得出该曲线的微分方程为
（2）∵曲线过点（0.1），即x=0时，y=1
∴曲线方程的初始条件为y（0）=1.
（3）∵微分方程为，对方程两边求积，即可得到微分方程的通解：
.
(4)将点（0，1）代入，即可得到方程的特解：
。
解析
步骤 1：确定微分方程
根据题意，曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，即$y' = x^2$。因此，曲线的方程应满足的微分方程为$y' = x^2$。
步骤 2：确定初始条件
题目中给出曲线经过点$(0, 1)$，即当$x=0$时，$y=1$。因此，初始条件为$y(0) = 1$。
步骤 3：求解微分方程的通解
对微分方程$y' = x^2$进行积分，得到$y = \int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C$，其中$C$为积分常数。因此，微分方程的通解为$y = \frac{1}{3}x^3 + C$。
步骤 4：求解微分方程的特解
将初始条件$y(0) = 1$代入通解$y = \frac{1}{3}x^3 + C$，得到$1 = \frac{1}{3}(0)^3 + C$，解得$C = 1$。因此，微分方程的特解为$y = \frac{1}{3}x^3 + 1$。
根据题意，曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，即$y' = x^2$。因此，曲线的方程应满足的微分方程为$y' = x^2$。
步骤 2：确定初始条件
题目中给出曲线经过点$(0, 1)$，即当$x=0$时，$y=1$。因此，初始条件为$y(0) = 1$。
步骤 3：求解微分方程的通解
对微分方程$y' = x^2$进行积分，得到$y = \int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C$，其中$C$为积分常数。因此，微分方程的通解为$y = \frac{1}{3}x^3 + C$。
步骤 4：求解微分方程的特解
将初始条件$y(0) = 1$代入通解$y = \frac{1}{3}x^3 + C$，得到$1 = \frac{1}{3}(0)^3 + C$，解得$C = 1$。因此，微分方程的特解为$y = \frac{1}{3}x^3 + 1$。