题目
(4)已知 du(x,y)=(ydx-xdy)/(3x^2)-2xy+3y^(2)，则u(x,y)=____.
(4)已知 $du(x,y)=\frac{ydx-xdy}{3x^{2}-2xy+3y^{2}}$，则u(x,y)=____.
题目解答
答案
将全微分形式改写为：
\[ du(x,y) = \frac{ydx - xdy}{3x^2 - 2xy + 3y^2} = \frac{d\left(\frac{x}{y}\right)}{3\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 2\left(\frac{x}{y}\right) + 3} \]
设 $z = \frac{x}{y}$，则：
\[ du = \frac{dz}{3z^2 - 2z + 3} \]
完成平方：
\[ 3z^2 - 2z + 3 = 3\left[\left(z - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{8}{9}\right] \]
积分得：
\[ \int \frac{dz}{3\left[\left(z - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{8}{9}\right]} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan \frac{3(z - \frac{1}{3})}{2\sqrt{2}} + C \]
代回 $z = \frac{x}{y}$，得：
\[ u(x,y) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan \frac{3x - y}{2\sqrt{2}y} + C \]
**答案：**
\[
\boxed{\frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan \frac{3x - y}{2\sqrt{2}y} + C}
\]
解析
考查要点：本题主要考查全微分方程的求解方法，涉及变量替换、分母配方及有理函数积分技巧。
解题核心思路：
- 变量替换：通过引入比值变量 $z = \frac{x}{y}$，将原式转化为关于 $z$ 的微分形式，简化分母结构。
- 分母配方：将二次多项式分母改写为完全平方形式，便于积分。
- 有理函数积分：利用标准积分公式 $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$ 完成积分。
破题关键点：
- 识别分子为比值变量的微分：发现 $ydx - xdy = y^2 d\left(\frac{x}{y}\right)$，从而将原式转化为关于 $z$ 的微分。
- 配方处理二次分母：通过配方将分母转化为完全平方形式，匹配积分公式。
变量替换与微分形式简化
设 $z = \frac{x}{y}$，则：
$dz = \frac{ydx - xdy}{y^2} \quad \Rightarrow \quad ydx - xdy = y^2 dz.$
原式可改写为：
$du = \frac{ydx - xdy}{3x^2 - 2xy + 3y^2} = \frac{y^2 dz}{3x^2 - 2xy + 3y^2}.$
将分母用 $z$ 表示：
$3x^2 - 2xy + 3y^2 = y^2 \left(3z^2 - 2z + 3\right).$
代入后得：
$du = \frac{dz}{3z^2 - 2z + 3}.$
分母配方与积分
对分母配方：
$3z^2 - 2z + 3 = 3\left[\left(z - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{8}{9}\right].$
积分得：
$u = \int \frac{dz}{3\left[\left(z - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{8}{9}\right]} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan \frac{3\left(z - \frac{1}{3}\right)}{2\sqrt{2}} + C.$
代回 $z = \frac{x}{y}$，最终结果为：
$u(x,y) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan \frac{3x - y}{2\sqrt{2}y} + C.$