下列复数① sqrt[4](6)(cos (pi)/(8)+i sin (pi)/(8));② sqrt[4](6)(cos (pi)/(8)-i sin (pi)/(8));③ sqrt[4](6)(cos (9pi)/(8)+i sin (9pi)/(8));④ sqrt[4](6)(cos (9pi)/(8)-i sin (9pi)/(8)).为 (sqrt(3)+sqrt(3)i)^(1)/(2) 的根的是 ( )A. ①②B. ①④C. ②④D. ①③

考查要点：本题主要考查复数根的求解，涉及复数的极坐标形式、模与辐角的运算，以及复数根的性质。

解题核心思路：

1. 将原复数转化为极坐标形式，确定其模和辐角；
2. 根据复数根的性质，平方根的模为原模的平方根，辐角为原辐角的一半加上$k\pi$（$k=0,1$）；
3. 匹配选项，验证各选项的模和辐角是否符合要求。

破题关键点：

• 正确计算原复数的模和辐角；
• 理解复数根的辐角分布规律，即两个平方根的辐角相差$\pi$；
• 注意选项中复数的表达形式，区分$\cos\theta + i\sin\theta$与$\cos\theta - i\sin\theta$对应的辐角符号。

步骤1：求原复数的极坐标形式

原复数为$\sqrt{3} + \sqrt{3}i$：

• 模：$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6}$；
• 辐角：$\theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{4}$；
• 极坐标形式为：$\sqrt{6}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$。

步骤2：求平方根的模和辐角

平方根的模为$\sqrt[4]{6}$，辐角为：

• $\frac{\theta}{2} + k\pi$，其中$k=0,1$；
• 即辐角分别为$\frac{\pi}{8}$和$\frac{\pi}{8} + \pi = \frac{9\pi}{8}$。

步骤3：匹配选项

• 选项①：$\sqrt[4]{6}\left(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\right)$，辐角$\frac{\pi}{8}$，符合条件；
• 选项③：$\sqrt[4]{6}\left(\cos\frac{9\pi}{8} + i\sin\frac{9\pi}{8}\right)$，辐角$\frac{9\pi}{8}$，符合条件；
• 选项②、④：表达式为$\cos\theta - i\sin\theta$，对应辐角$-\theta$，不符合要求。