题目

4.求由曲线y=x^3和y=sqrt(x)所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

4.求由曲线$y=x^{3}$和$y=\sqrt{x}$所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

题目解答

答案

**步骤1：求交点** 解方程 $x^3 = \sqrt{x}$，得 $x = 0$ 或 $x = 1$。 **步骤2：求面积** 在 $[0, 1]$ 上，$\sqrt{x} \geq x^3$，面积为 \[ A = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^3) \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}. \] **步骤3：求体积** 使用洗盘法，体积为 \[ V = \pi \int_0^1 \left[ (\sqrt{x})^2 - (x^3)^2 \right] \, dx = \pi \int_0^1 (x - x^6) \, dx = \pi \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{7}x^7 \right]_0^1 = \frac{5\pi}{14}. \] **答案** 面积：$\boxed{\frac{5}{12}}$ 体积：$\boxed{\frac{5\pi}{14}}$

解析

考查要点：本题主要考查平面图形的面积计算和旋转体体积计算，涉及定积分的应用。

解题核心思路：

  1. 确定曲线交点：找到两曲线的交点，确定积分上下限。
  2. 比较曲线高低：在积分区间内判断哪条曲线在上，哪条在下，确定面积的积分表达式。
  3. 应用圆盘法求体积：绕x轴旋转时，使用圆盘法，体积元素为外半径平方减内半径平方乘以π和dx。

破题关键点：

  • 正确求解交点：通过解方程$x^3 = \sqrt{x}$，得到$x=0$和$x=1$。
  • 明确积分区间：在$[0,1]$区间内，$\sqrt{x} \geq x^3$，因此面积和体积的积分均在此区间进行。

步骤1：求交点

解方程$x^3 = \sqrt{x}$：

  • 移项得$x^3 - x^{1/2} = 0$，提取公因式$x^{1/2}$，得$x^{1/2}(x^{5/2} - 1) = 0$。
  • 解得$x=0$或$x=1$。

步骤2：求面积

在区间$[0,1]$上，$\sqrt{x} \geq x^3$，面积为：
$A = \int_0^1 \left( \sqrt{x} - x^3 \right) dx$
计算积分：

  • $\int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2}$
  • $\int x^3 \, dx = \frac{1}{4}x^4$
  • 代入上下限得：
    $A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$

步骤3：求体积

使用圆盘法，体积为：
$V = \pi \int_0^1 \left[ (\sqrt{x})^2 - (x^3)^2 \right] dx = \pi \int_0^1 (x - x^6) dx$
计算积分：

  • $\int x \, dx = \frac{1}{2}x^2$
  • $\int x^6 \, dx = \frac{1}{7}x^7$
  • 代入上下限得：
    $V = \pi \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{7}x^7 \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{7} \right) = \frac{5\pi}{14}$