题目

4.6】求int(x^2dx)/(sqrt(a^2)-x^(2))(a>0).

4.6】求$\int\frac{x^{2}dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}(a>0).$

题目解答

答案

令 $x = a \sin t$，则 $dx = a \cos t \, dt$，且 $\sqrt{a^2 - x^2} = a \cos t$。代入原积分得： \[ \int \frac{a^2 \sin^2 t \cdot a \cos t}{a \cos t} \, dt = \int a^2 \sin^2 t \, dt. \] 利用恒等式 $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$，得： \[ \int a^2 \cdot \frac{1 - \cos 2t}{2} \, dt = \frac{a^2}{2} \left( t - \frac{\sin 2t}{2} \right) + C. \] 由 $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$，及 $t = \arcsin \frac{x}{a}$，$\sin t = \frac{x}{a}$，$\cos t = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$，代回得： \[ \frac{a^2}{2} \left( \arcsin \frac{x}{a} - \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{a^2} \right) + C = \boxed{\frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} - \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{2} + C}. \]

解析

考查要点：本题主要考查三角代换法在不定积分中的应用，以及利用三角恒等式简化积分表达式的能力。

解题核心思路：
当积分中出现$\sqrt{a^2 - x^2}$时，通常采用三角代换，令$x = a \sin t$，将根号内的表达式转化为$a \cos t$，从而简化积分。随后利用三角恒等式（如$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$）展开并积分，最后通过反三角函数换回原变量$x$。

破题关键点：

  1. 正确选择代换变量，将根号消去；
  2. 灵活运用三角恒等式简化被积函数；
  3. 准确换回原变量，注意三角函数与代数表达式之间的转换关系。

步骤1：三角代换

令$x = a \sin t$，则$dx = a \cos t \, dt$，且$\sqrt{a^2 - x^2} = a \cos t$。代入原积分得：
$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \int \frac{a^2 \sin^2 t \cdot a \cos t \, dt}{a \cos t} = \int a^2 \sin^2 t \, dt.$

步骤2：利用三角恒等式展开

将$\sin^2 t$用恒等式$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$展开：
$\int a^2 \sin^2 t \, dt = \int a^2 \cdot \frac{1 - \cos 2t}{2} \, dt = \frac{a^2}{2} \int (1 - \cos 2t) \, dt.$

步骤3：积分并换回变量

积分得：
$\frac{a^2}{2} \left( t - \frac{\sin 2t}{2} \right) + C.$
由$t = \arcsin \frac{x}{a}$，$\sin t = \frac{x}{a}$，$\cos t = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$，以及$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$，代入得：
$\frac{a^2}{2} \left( \arcsin \frac{x}{a} - \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{a^2} \right) + C.$