[题目]求复数 =-1+sqrt (3i) 的模、辐角主值及-|||-复数的三角形式

考查要点：本题主要考查复数的模、辐角主值及三角形式的求解方法。

解题思路：

1. 确定复数的实部和虚部：将复数写成标准形式 $a + bi$，其中 $a$ 是实部，$b$ 是虚部。
2. 计算模：利用公式 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。
3. 求辐角主值：根据复数所在的象限和 $\tan \theta = \frac{b}{a}$ 确定角度，注意调整到 $[0, 2\pi)$ 范围内。
4. 三角形式：将复数表示为 $|z|(\cos \theta + i \sin \theta)$。

关键点：

• 正确识别实部和虚部，尤其注意符号。
• 辐角主值的象限判断，确保角度在第二象限。

步骤1：确定实部和虚部

题目中的复数为 $z = -1 + \sqrt{3}i$，因此：

• 实部 $a = -1$
• 虚部 $b = \sqrt{3}$

步骤2：计算模

根据模的公式：
$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

步骤3：求辐角主值

复数位于第二象限（实部为负，虚部为正），计算 $\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$。对应的标准角度为 $\frac{2\pi}{3}$（因 $\tan \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$）。

步骤4：三角形式

将模和辐角代入三角形式：
$z = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$