题目
∫(x+1)/((x)^2-2x+5)dx．
$∫\frac{x+1}{{x}^{2}-2x+5}dx$．
题目解答
答案
解：${∫}_{}^{}$$\frac{x+1}{{x}^{2}-2x+5}$dx=$\frac{1}{2}$${∫}_{}^{}$$\frac{2x-2}{{x}^{2}-2x+5}$dx+${∫}_{}^{}$$\frac{2}{{x}^{2}-2x+5}$dx
=$\frac{1}{2}$${∫}_{}^{}$$\frac{1}{{x}^{2}-2x+5}$d（x2-2x+5）+2${∫}_{}^{}$$\frac{1}{{（x-1）}^{2}{+2}^{2}}$d（x-1）
=$\frac{1}{2}$ln（x2-2x+5）+2arctan$\frac{x-1}{2}$+C．
=$\frac{1}{2}$${∫}_{}^{}$$\frac{1}{{x}^{2}-2x+5}$d（x2-2x+5）+2${∫}_{}^{}$$\frac{1}{{（x-1）}^{2}{+2}^{2}}$d（x-1）
=$\frac{1}{2}$ln（x2-2x+5）+2arctan$\frac{x-1}{2}$+C．
解析
步骤 1：将被积函数分解为两部分
将被积函数 $\frac{x+1}{{x}^{2}-2x+5}$ 分解为两部分，以便于分别积分。注意到分母可以写为 $(x-1)^2 + 2^2$，这提示我们使用部分分式分解和积分技巧。
步骤 2：积分第一部分
第一部分为 $\frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{{x}^{2}-2x+5} dx$，这可以通过直接积分得到，因为分子是分母的导数。
步骤 3：积分第二部分
第二部分为 $\int \frac{2}{{x}^{2}-2x+5} dx$，这可以通过代换 $u = x-1$，将积分转换为 $\int \frac{2}{{u}^{2}+2^2} du$，然后使用反正切函数的积分公式。
将被积函数 $\frac{x+1}{{x}^{2}-2x+5}$ 分解为两部分，以便于分别积分。注意到分母可以写为 $(x-1)^2 + 2^2$，这提示我们使用部分分式分解和积分技巧。
步骤 2：积分第一部分
第一部分为 $\frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{{x}^{2}-2x+5} dx$，这可以通过直接积分得到，因为分子是分母的导数。
步骤 3：积分第二部分
第二部分为 $\int \frac{2}{{x}^{2}-2x+5} dx$，这可以通过代换 $u = x-1$，将积分转换为 $\int \frac{2}{{u}^{2}+2^2} du$，然后使用反正切函数的积分公式。