设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Ax＝0的两个解． (1)求A的特征值与特征向量； (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝A．

(1)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以 ， 则由特征值和特征向量的定义知，λ＝3是矩阵A的特征值，α＝(1，1，1)^T是对应的特征向量．对应λ＝3的全部特征向量为kα，其中k为不为零的常数． 又由题设知Aα₁＝0，Aα₂＝0，即Aα₁＝0.α₁，Aα₂＝0.α₂，而且α₁，α₂线性无关，所以λ＝0是矩阵A的二重特征值，α₁，α₂是其对应的特征向量，对应λ＝0的全部特征向量为k₁α₁＋k₁，k₂其中k₁，k₂为不全为零的常数． (2)因为A是实对称矩阵，所以α与α₁，α₂正交，所以只需将α₁，α₂正交． 取β₁＝α₁， 。 再将α，β₁，β₂单位化，得 令Q＝[η₁，η₂，η₃]，则Q^－1＝Q^T，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得