若矩阵A与B相似,且A可逆,则下列错误的是( ).A. −1 ∼B−1B. AT 与  BT  不相似.C. A3 ∼B3D. A∗ ∼B∗

本题主要考察相似矩阵的性质，需逐一分析选项正确性：

核心知识点：相似矩阵的定义与性质

若矩阵$A$与$B$相似，则存在可逆矩阵$P$，使得$B=P^{-1}AP$。基于此，相似矩阵具有以下性质：

1. 逆矩阵相似：若$A,B$可逆，则$B^{-1}=P^{-1}A^{-1}(P^{-1})^{-1}$，故$A^{-1}\sim B^{-1}$；
2. 幂次相似：$B^k=P^{-1}A^kP$，故$A^k\sim B^k$；
3. 伴随矩阵相似：$A^*=|A|A^{-1}$，$B^*=|B| B^{-1}$，因相似矩阵行列式相等（$|B|=|A|$），故$B^*=|A|P^{-1}A^{-1}P$，即$A^*\sim B^*$；
4. 转置矩阵相似：$B^T=(P^{-1}AP)^T=P^T A^T (P^T)^{-1}$，故$A^T\sim B^T$。

选项分析

• A. $A^{-1}\sim B^{-1}$：正确，由性质1可知。
• B. $A^T$与$B^T$不相似：错误，由性质4可知$A^T\sim B^T$。
• C. $A^3\sim B^3$：正确，由性质2可知。
• D. $A^*\sim B^*$：正确，由性质3可知。