外测度1.设E是直线上的有理点全体，则E的外测度为0.2.平面上的x轴的外测度为0.3.Cantor集的外测度为0.4.设Esubset R^n是有界集，则m^*E<+infty.5.设A，Bsubset R^n，且m*A，m*B至少有一个为有限实数，则m*(B-A)geq m*B-m*A.

为了确定给定集合的外测度，我们需要使用外测度的定义和性质。一个集合 $ E $ 的外测度，记为 $ m^*(E) $，是所有覆盖 $ E $ 的开区间（或 $ \mathbb{R}^n $ 中的开集）的长度（或体积）之和的下确界。 让我们逐步解决每个问题： 1. **直线上的有理点全体的外测度：** - 设 $ E $ 是直线上的有理点全体。有理数是可数的，因此我们可以将 $ E $ 写为 $ \{q_1, q_2, q_3, \ldots\} $。 - 对于任何 $ \epsilon > 0 $，我们可以将每个有理点 $ q_i $ 覆盖在一个长度为 $ \frac{\epsilon}{2^i} $ 的开区间内。所有这些区间的并集覆盖了 $ E $。 - 这些区间的总长度为 $ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^i} = \epsilon $。 - 由于 $ \epsilon $ 可以任意小，$ E $ 的外测度为 $ 0 $。 - 因此，$ m^*(E) = 0 $。 2. **平面上的x轴的外测度：** - 平面上的x轴是集合 $ \{(x, 0) : x \in \mathbb{R}\} $。 - 对于任何 $ \epsilon > 0 $，我们可以将x轴覆盖在宽度为 $ \epsilon $ 的带状区域内。这个带状区域可以看作是可数多个长度为1、宽度为 $ \epsilon $ 的矩形的并集。 - 这些矩形的总面积为 $ \sum_{i=-\infty}^{\infty} 1 \cdot \epsilon = \infty \cdot \epsilon $。然而，由于 $ \epsilon $ 可以任意小，x轴的外测度为 $ 0 $。 - 因此，$ m^*(\text{x轴}) = 0 $。 3. **Cantor集的外测度：** - Cantor集是通过从区间 $[0, 1]$ 中反复移除中间三分之一构造的。 - 在第一步，移除中间三分之一后，剩余的长度为 $ \frac{2}{3} $。 - 在第二步，从剩余的两个区间中各移除中间三分之一，剩余的长度为 $ \left(\frac{2}{3}\right)^2 $。 - 继续这个过程，经过 $ n $ 步后，剩余的长度为 $ \left(\frac{2}{3}\right)^n $。 - 当 $ n $ 趋向于无穷大时，剩余的长度为 $ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0 $。 - 因此，Cantor集的外测度为 $ 0 $。 - 因此，$ m^*(\text{Cantor集}) = 0 $。 4. **有界集的外测度：** - 设 $ E \subset \mathbb{R}^n $ 是有界集。那么存在一个边长为 $ L $ 的超立方体，它包含 $ E $。 - 这个超立方体的体积为 $ L^n $。 - 由于超立方体覆盖了 $ E $，$ E $ 的外测度最多为 $ L^n $。 - 因此，$ m^*(E) < +\infty $。 5. **集合差的外测度：** - 设 $ A, B \subset \mathbb{R}^n $，且 $ m^*A $ 和 $ m^*B $ 至少有一个为有限实数。 - 我们需要证明 $ m^*(B - A) \geq m^*B - m^*A $。 - 由于 $ B \subset (B - A) \cup A $，根据外测度的次可加性，我们有 $ m^*B \leq m^*(B - A) + m^*A $。 - 重新排列这个不等式，我们得到 $ m^*(B - A) \geq m^*B - m^*A $。 - 因此，不等式成立。 最终答案是： 1. $ m^*(E) = 0 $ 2. $ m^*(\text{x轴}) = 0 $ 3. $ m^*(\text{Cantor集}) = 0 $ 4. $ m^*(E) < +\infty $ 5. $ m^*(B - A) \geq m^*B - m^*A $ \[ \boxed{1, 2, 3, 4, 5} \]