题目

填空设1 0 0-|||-D= 2 1 0-|||-3 1 2,1 0 0-|||-D= 2 1 0-|||-3 1 2为元素1 0 0-|||-D= 2 1 0-|||-3 1 2的代数余子式,则1 0 0-|||-D= 2 1 0-|||-3 1 2=_____.

填空设 $D= \begin{vmatrix} 1&0&0\\2&1&0\\3&1&2 \end{vmatrix}$ , $A_{ij}$ 为元素 $a_{ij}(i,j=1,2,3)$ 的代数余子式,则 $A_{12}+2A_{22}+3A_{32}$ =_____.

题目解答

答案

由于三阶行列式按第二列展开的值为 $a_{12}A_{12}+a_{22}A_{22}+a_{32}A_{32}$

故 $A_{12}+2A_{22}+3A_{32}$ 相当于将1，2，3代入D中的第二列所得的新行列式的值，即

$A_{12}+2A_{22}+3A_{32}= \begin{vmatrix} 1&1&0\\2&2&0\\3&3&2 \end{vmatrix}=0$

故本题答案为0

解析

步骤 1：理解代数余子式的定义
代数余子式${A}_{ij}$是行列式中去掉第i行和第j列后剩余的行列式的值，乘以$(-1)^{i+j}$。

步骤 2：应用行列式展开定理
行列式按第二列展开的值为${a}_{12}{A}_{12}+{a}_{22}{A}_{22}+{a}_{32}{A}_{32}$，其中${a}_{ij}$是行列式中第i行第j列的元素。

步骤 3：计算${A}_{12}+2{A}_{22}+3{A}_{32}$
将1，2，3代入D中的第二列，得到新的行列式，其值即为${A}_{12}+2{A}_{22}+3{A}_{32}$的值。