题目
[题目]曲面 ^2+cos (xy)+yz+x=0 在点 (0,1,-1) 处的切-|||-平面方程为 ()-|||-A. x-y+z=-2-|||-B. x+y+z=0-|||-C. x-2y+z=-3-|||-D. x-y-z=0
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
令 $F(x,y,z)={x}^{2}+\cos (xy)+yz+x$，则曲面可以表示为 $F(x,y,z)=0$。
步骤 2：验证初始条件
在点 (0,1,-1) 处，$F(0,1,-1)=0$，满足隐函数定理的初始条件。
步骤 3：计算偏导数
计算 $F$ 关于 $x$、$y$、$z$ 的偏导数：
${F}_{x}=2x-y\sin (xy)+1$，
${F}_{y}=-x\sin (xy)+z$，
${F}_{z}=y$。
步骤 4：计算偏导数值
在点 (0,1,-1) 处，计算偏导数值：
${F}_{x}(0,1,-1)=1$，
${F}_{y}(0,1,-1)=-1$，
${F}_{z}(0,1,-1)=1$。
步骤 5：确定切平面方程
根据偏导数值，切平面方程为：
$1(x-0)-1(y-1)+1(z+1)=0$，
即 $x-y+z=-2$。
令 $F(x,y,z)={x}^{2}+\cos (xy)+yz+x$，则曲面可以表示为 $F(x,y,z)=0$。
步骤 2：验证初始条件
在点 (0,1,-1) 处，$F(0,1,-1)=0$，满足隐函数定理的初始条件。
步骤 3：计算偏导数
计算 $F$ 关于 $x$、$y$、$z$ 的偏导数：
${F}_{x}=2x-y\sin (xy)+1$，
${F}_{y}=-x\sin (xy)+z$，
${F}_{z}=y$。
步骤 4：计算偏导数值
在点 (0,1,-1) 处，计算偏导数值：
${F}_{x}(0,1,-1)=1$，
${F}_{y}(0,1,-1)=-1$，
${F}_{z}(0,1,-1)=1$。
步骤 5：确定切平面方程
根据偏导数值，切平面方程为：
$1(x-0)-1(y-1)+1(z+1)=0$，
即 $x-y+z=-2$。