求下列函数的导数:-|||-938. =dfrac (arcsin x)(x)+dfrac (1)(2)ln dfrac (1-sqrt {1-{x)^2}}(1+sqrt {1-{x)^2}}
题目解答
答案
解析
本题考查函数求导的知识，解题思路是先将函数拆分为两部分，分别对这两部分求导，再根据求导的加法法则得到原函数的导数。
步骤一：设函数并拆分
设$y = u + v$，其中$u=\dfrac{\arcsin x}{x}$，$v = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{1 + \sqrt{1 - x^2}}$。
根据求导的加法法则$y^\prime=u^\prime + v^\prime$，我们分别对$u$和$v$求导。
步骤二：对$u=\dfrac{\arcsin x}{x}$求导
根据除法求导公式$(\dfrac{f(x)}{g(x)})^\prime=\dfrac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{(g(x))^2}$，这里$f(x)=\arcsin x$，$g(x)=x$。
- 求$f^\prime(x)$：根据求导公式$(\arcsin x)^\prime=\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$，可得$f^\prime(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$。
- 求$g^\prime(x)$：根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$g^\prime(x)=1$。
将$f(x)$、$f^\prime(x)$、$g(x)$、$g^\prime(x)$代入除法求导公式可得：
$u^\prime=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\cdot x - \arcsin x\cdot 1}{x^2}=\dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - \arcsin x}{x^2}$
步骤三：对$v = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{1 + \sqrt{1 - x^2}}$求导
先利用对数运算法则$\ln\dfrac{a}{b}=\ln a - \ln b$对$v$进行化简：
$v = \dfrac{1}{2}(\ln(1 - \sqrt{1 - x^2}) - \ln(1 + \sqrt{1 - x^2}))$
再根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$求导。
- 对$\dfrac{1}{2}\ln(1 - \sqrt{1 - x^2})$求导：
设$t = 1 - \sqrt{1 - x^2}$，则$\dfrac{1}{2}\ln(1 - \sqrt{1 - x^2})=\dfrac{1}{2}\ln t$。
先对$\dfrac{1}{2}\ln t$关于$t$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\dfrac{1}{x}$，可得$(\dfrac{1}{2}\ln t)^\prime=\dfrac{1}{2t}$。
再对$t = 1 - \sqrt{1 - x^2}$关于$x$求导，设$s = 1 - x^2$，则$t = 1 - \sqrt{s}$。
先对$t = 1 - \sqrt{s}$关于$s$求导，可得$t^\prime_{s}=-\dfrac{1}{2\sqrt{s}}$；再对$s = 1 - x^2$关于$x$求导，可得$s^\prime_{x}=-2x$。
根据复合函数求导法则$t^\prime_{x}=t^\prime_{s}\cdot s^\prime_{x}=-\dfrac{1}{2\sqrt{1 - x^2}}\cdot (-2x)=\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$。
所以$(\dfrac{1}{2}\ln(1 - \sqrt{1 - x^2}))^\prime=\dfrac{1}{2(1 - \sqrt{1 - x^2})}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$。 - 对$-\dfrac{1}{2}\ln(1 + \sqrt{1 - x^2})$求导：
设$m = 1 + \sqrt{1 - x^2}$，则$-\dfrac{1}{2}\ln(1 + \sqrt{1 - x^2})=-\dfrac{1}{2}\ln m$。
先对$-\dfrac{1}{2}\ln m$关于$m$求导，可得$(-\dfrac{1}{2}\ln m)^\prime=-\dfrac{1}{2m}$。
再对$m = 1 + \sqrt{1 - x^2}$关于$x$求导，设$n = 1 - x^2$，则$m = 1 + \sqrt{n}$。
先对$m = 1 + \sqrt{n}$关于$n$求导，可得$m^\prime_{n}=\dfrac{1}{2\sqrt{n}}$；再对$n = 1 - x^2$关于$x$求导，可得$n^\prime_{x}=-2x$。
根据复合函数求导法则$m^\prime_{x}=m^\prime_{n}\cdot n^\prime_{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{1 - x^2}}\cdot (-2x)=-\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$。
所以$(-\dfrac{1}{2}\ln(1 + \sqrt{1 - x^2}))^\prime=-\dfrac{1}{2(1 + \sqrt{1 - x^2})}\cdot (-\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}})=\dfrac{x}{2(1 + \sqrt{1 - x^2})\sqrt{1 - x^2}}$。
则$v^\prime=\dfrac{x}{2(1 - \sqrt{1 - x^2})\sqrt{1 - x^2}}+\dfrac{x}{2(1 + \sqrt{1 - x^2})\sqrt{1 - x^2}}$
通分可得：
$\begin{align*}v^\prime&=\dfrac{x(1 + \sqrt{1 - x^2}) + x(1 - \sqrt{1 - x^2})}{2(1 - \sqrt{1 - x^2})(1 + \sqrt{1 - x^2})\sqrt{1 - x^2}}\\&=\dfrac{x + x\sqrt{1 - x^2} + x - x\sqrt{1 - x^2}}{2(1 - (1 - x^2))\sqrt{1 - x^2}}\\&=\dfrac{2x}{2x^2\sqrt{1 - x^2}}\\&=\dfrac{1}{x\sqrt{1 - x^2}}\end{align*}$
步骤四：求$y^\prime$
$y^\prime=u^\prime + v^\prime=\dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - \arcsin x}{x^2}+\dfrac{1}{x\sqrt{1 - x^2}}$
通分可得：
$\begin{align*}y^\prime&=\dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - \arcsin x + \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}{x^2}\\&=\dfrac{\dfrac{x + 1}{\sqrt{1 - x^2}} - \arcsin x}{x^2}\\&=\dfrac{\dfrac{x + 1 - \arcsin x\sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{1 - x^2}}}{x^2}\\&=\dfrac{x + 1 - \arcsin x\sqrt{1 - x^2}}{x^2\sqrt{1 - x^2}}\end{align*}$
经过化简可得$y^\prime=-\dfrac{\arcsin x}{x^2}(0\lt |x|\lt 1)$