题目

在某地,下雨和晴天的时间各占一半,假设某人出门前都会使用AI预测天气,AI预测的准确率为dfrac (3)(4)如果预测有雨,某人出门一定会带伞。若预测无雨,某人也有dfrac (3)(4)的时间出门带伞。(1)试着写出写出天气情况与AI预测,(2)AI预测与带伞情况,(3)天气情况与带伞情况的条件概率矩阵。

在某地,下雨和晴天的时间各占一半,假设某人出门前都会使用AI预测天气,AI预测的准确率为 $\frac{3}{4}$ 如果预测有雨,某人出门一定会带伞。若预测无雨,某人也有 $\frac{1}{3}$ 的时间出门带伞。

(1)试着写出写出天气情况与AI预测,(2)AI预测与带伞情况,(3)天气情况与带伞情况的条件概率矩阵。

题目解答

答案

(1) 天气情况与AI预测的概率矩阵：

我们可以定义以下事件：

R：下雨

$\overline{R}$ ：晴天（即不下雨）

S：AI预测有雨

$\bar{S}$ ：AI预测无雨

根据题目，我们有以下信息：

P(R)=P( $\bar{R}$ )=0.5（下雨和晴天的概率各占一半）

P(S∣R)=0.75（如果下雨，AI预测有雨的准确率0.75）

P(S∣ $\bar{R}$ )=0.25（如果晴天，AI错误地预测有雨的概率是0.25）

由此，我们可以写出天气情况与AI预测的概率矩阵

(2) AI预测与带伞情况的概率矩阵：

根据题目，我们有以下信息：

如果AI预测有雨（S），某人出门一定会带伞，即P(U∣S)=1;如果AI预测无雨（ $\bar{S}$ ），某人有的时间（这里假设是30%的时间，但题目表述略显模糊，因为通常我们会期望一个具体的概率值，不过这里我们按照30%来理解）出门带伞，即P(U∣ $\bar{S}$ )=0.3由此，我们可以写出AI预测与带伞情况的概率矩阵：

(3) 天气情况与带伞情况的条件概率矩阵：P(U∣R)：在下雨的条件下带伞的概率。由于AI预测有雨的准确率是0.75，且此时人们一定会带伞，所以P(U∣R)=P(S∣R)×P(U∣S)+P( $\overline{S}$ ∣R)×P(U∣ $\bar{S}$ )≈0.75×1+0.25×0.3=0.75+0.075=0.825

$P(U∣\overline{R})：在晴天的条件下带伞的概率。由于AI预测无雨的准确率是0.75$

$P(U∣\overline{R})$ =0.225