设有向曲面Sigma为平面2x+2y+z=2在第一卦限中的部分，并取上侧，曲面积分intint xdydz+ydzdx+(x+z)dxdy=（）A. intint [(x+2-2x-2y)+2x+2y]dxdy 三合一投影法B. intint (1-y-(z)/(2))dydz + intint (1-x-(z)/(2))dxdz + intint (x+2-2x-2y)dxdyC. (1)/(3)intint (3x+2y+z)dSD. (7)/(6)

步骤 1：将曲面 $\Sigma$ 投影到 $xy$-平面
曲面 $\Sigma$ 的方程为 $2x + 2y + z = 2$，在第一卦限中，取上侧。将曲面投影到 $xy$-平面，得到 $z = 2 - 2x - 2y$。投影区域 $D_{xy}$ 由 $x + y \leq 1$ 确定。
步骤 2：计算曲面积分转换为二重积分
曲面积分转换为二重积分： \[ \iint_{D_{xy}} [x(-\frac{\partial z}{\partial x}) + y(-\frac{\partial z}{\partial y}) + (x + z)] \, dx \, dy = \iint_{D_{xy}} [x + 2] \, dx \, dy \] 与选项 A 相匹配。
步骤 3：投影到 $yz$-平面和 $zx$-平面
投影到 $yz$-平面和 $zx$-平面，分别得到： \[ \iint_{D_{yz}} (1 - y - \frac{z}{2}) \, dy \, dz + \iint_{D_{zx}} (1 - x - \frac{z}{2}) \, dx \, dz + \iint_{D_{xy}} (x + 2 - 2x - 2y) \, dx \, dy \] 与选项 B 相匹配。
步骤 4：计算曲面积分的值
计算值： \[ \int_0^1 \int_0^{1-x} [x + 2] \, dy \, dx = \frac{7}{6} \] 与选项 D 相匹配。
步骤 5：验证选项 C
选项 C 表达式与曲面积分形式不符。