题目
一平面薄片位于抛物线y=x^2及直线y=x之间，密度rho(x,y)=x^2y，则它的质心坐标是（）. A. ((35)/(48),(35)/(54))B. ((35)/(54),(35)/(48))C. ((1)/(2),(2)/(3))D. ((2)/(3),(1)/(2))
一平面薄片位于抛物线$y=x^{2}$及直线$y=x$之间，密度$\rho(x,y)=x^{2}y$，则它的质心坐标是（）.
- A. $\left(\frac{35}{48},\frac{35}{54}\right)$
- B. $\left(\frac{35}{54},\frac{35}{48}\right)$
- C. $\left(\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right)$
- D. $\left(\frac{2}{3},\frac{1}{2}\right)$
题目解答
答案
1. **确定区域 $D$**：
区域 $D$ 由抛物线 $y = x^2$ 和直线 $y = x$ 围成，交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
$D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq x\}$。
2. **计算总质量 $M$**：
\[
M = \iint_D x^2y \, dA = \int_0^1 \int_{x^2}^x x^2y \, dy \, dx = \frac{1}{35}
\]
3. **计算质心坐标**：
\[
\overline{x} = \frac{1}{M} \iint_D x \cdot x^2y \, dA = \frac{35}{48}, \quad \overline{y} = \frac{1}{M} \iint_D y \cdot x^2y \, dA = \frac{35}{54}
\]
**答案**：$\boxed{A}$。