题目

若L为由点O(0,0)到点O(0,0)的有向曲线弧O(0,0)，而O(0,0)与积分路径无关，则C等于( )A 0B 6C -6D -2

若L为由点 $O(0,0)$ 到点 $B(1,1)$ 的有向曲线弧 $y=\sin\frac{\pi x}{2}$ ，而 $\int\limits_{L}^{}(x^2-Cxy)dx+(x^2+y^4)dy$ 与积分路径无关，则C等于( )

A 0

B 6

C -6

D -2

题目解答

答案

对于曲线积分 $\int\limits_{L}^{}(x^2-Cxy)dx+(x^2+y^4)dy$ ，可知 $P\left(x,y\right)=x^2-Cxy$ ， $Q\left(x,y\right)=x^2+y^4$ ，则有 $\frac{\partial P}{\partial y}=-Cx$ ， $\frac{\partial Q}{\partial x}=2x$ ，曲线与积分路径无关，则满足 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ ，即 $-Cx=2x$ ，可知 $C=-2$ .

故答案为：D

解析

步骤 1：确定P(x,y)和Q(x,y)
根据题目中的积分表达式$\int ({x}^{2}-Cxy)dx+({x}^{2}+{y}^{4})dy$，可以确定$P(x,y)={x}^{2}-Cxy$，$Q(x,y)={x}^{2}+{y}^{4}$。

步骤 2：计算$\dfrac {\partial P}{\partial y}$和$\dfrac {\partial Q}{\partial x}$
根据$P(x,y)$和$Q(x,y)$，计算它们对y和x的偏导数。$\dfrac {\partial P}{\partial y}=-Cx$，$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=2x$。

步骤 3：利用积分路径无关的条件
由于积分与路径无关，根据格林定理，$\dfrac {\partial P}{\partial y}=\dfrac {\partial Q}{\partial x}$，即$-Cx=2x$。解这个方程，得到$C=-2$。