题目
4.求不定积分int(1-x)/(x^2)dx
4.求不定积分$\int\frac{1-x}{x^{2}}dx$
题目解答
答案
为了求不定积分 $\int \frac{1-x}{x^2} \, dx$，我们可以将被积函数分解为两个更简单的分数。具体步骤如下：
1. 将被积函数 $\frac{1-x}{x^2}$ 写成 $\frac{1}{x^2} - \frac{x}{x^2}$。
2. 简化得到 $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$。
所以，原积分可以写成：
\[
\int \frac{1-x}{x^2} \, dx = \int \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} \right) \, dx
\]
接下来，我们可以将积分拆成两个 separate 积分：
\[
\int \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} \right) \, dx = \int \frac{1}{x^2} \, dx - \int \frac{1}{x} \, dx
\]
现在，我们分别求这两个积分：
1. $\int \frac{1}{x^2} \, dx$ 可以写成 $\int x^{-2} \, dx$。使用幂函数的积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（其中 $n \neq -1$），我们得到：
\[
\int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C
\]
2. $\int \frac{1}{x} \, dx$ 是一个基本积分，结果是：
\[
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C
\]
将这两个结果放在一起，我们得到：
\[
\int \frac{1}{x^2} \, dx - \int \frac{1}{x} \, dx = -\frac{1}{x} - \ln |x| + C
\]
因此，不定积分 $\int \frac{1-x}{x^2} \, dx$ 的最终答案是：
\[
\boxed{-\frac{1}{x} - \ln |x| + C}
\]
解析
考查要点：本题主要考查分式函数的积分方法，特别是通过拆分被积函数简化积分过程的能力。
解题核心思路：将分式$\frac{1-x}{x^2}$拆分为两个简单分式的差，分别积分后再合并结果。关键在于正确拆分分子并应用基本积分公式。
破题关键点：
- 分子拆分：将分子$1-x$拆分为$1$和$-x$，分别与分母$x^2$组合成更简单的分式。
- 简化分式：将拆分后的分式$\frac{x}{x^2}$化简为$\frac{1}{x}$，便于积分。
- 应用基本积分公式：分别对$\frac{1}{x^2}$和$\frac{1}{x}$积分，注意幂函数积分公式的应用。
将被积函数$\frac{1-x}{x^2}$拆分为两个分式的差：
$\frac{1-x}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$
原积分可分解为：
$\int \frac{1-x}{x^2} \, dx = \int \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} \right) dx = \int \frac{1}{x^2} \, dx - \int \frac{1}{x} \, dx$
分步积分：
-
计算$\int \frac{1}{x^2} \, dx$
将$\frac{1}{x^2}$写成$x^{-2}$，应用幂函数积分公式：
$\int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = -\frac{1}{x} + C$ -
计算$\int \frac{1}{x} \, dx$
直接应用基本积分公式：
$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$
合并结果：
$\int \frac{1-x}{x^2} \, dx = \left( -\frac{1}{x} \right) - \ln |x| + C = -\frac{1}{x} - \ln |x| + C$