题目
(int )_(-2)^2(sqrt (4-{x)^2}+x)dx 等于( ) A. 0 B. π C. 2π D. 2π+4
等于( )
-
0
-
π
-
2π
-
2π+4
题目解答
答案
解：
=
．
=
，
由
，得
，
∴
等于以原点为圆心，以2为半径的上半圆的面积，等于
．
∴=2π．
故选：C．
解析
步骤 1：将积分分成两部分
将原积分分成两部分，一部分是${\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$，另一部分是${\int }_{-2}^{2}xdx$。
步骤 2：计算${\int }_{-2}^{2}xdx$
${\int }_{-2}^{2}xdx$是一个奇函数在对称区间上的积分，根据奇函数的性质，其在对称区间上的积分为0。
步骤 3：计算${\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$
${\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$表示的是半径为2的上半圆的面积，其面积为$\dfrac {1}{2}\pi \times {2}^{2}=2\pi$。
将原积分分成两部分，一部分是${\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$，另一部分是${\int }_{-2}^{2}xdx$。
步骤 2：计算${\int }_{-2}^{2}xdx$
${\int }_{-2}^{2}xdx$是一个奇函数在对称区间上的积分，根据奇函数的性质，其在对称区间上的积分为0。
步骤 3：计算${\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$
${\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$表示的是半径为2的上半圆的面积，其面积为$\dfrac {1}{2}\pi \times {2}^{2}=2\pi$。