题目

完成下列进制转换：(19)_(10)=( )_(2)=( )_(16)

完成下列进制转换：

$(19)_{10}=(\ )_{2}=(\ )_{16}$

题目解答

答案

将十进制数 $19$ 转换为二进制和十六进制，过程如下：

1. 十进制 → 二进制（除2取余法）

  • 依次除以2并记录余数：
    • $19 \div 2 = 9$ 余 $1$
    • $9 \div 2 = 4$ 余 $1$
    • $4 \div 2 = 2$ 余 $0$
    • $2 \div 2 = 1$ 余 $0$
    • $1 \div 2 = 0$ 余 $1$
  • 余数逆序排列得：$10011_2$

2. 十进制 → 十六进制（除16取余法）

  • 由于 $19 < 16$，直接除16：
    • $19 \div 16 = 1$ 余 $3$
    • $1 \div 16 = 0$ 余 $1$
  • 余数逆序排列得：$13_{16}$

> 注：也可通过二进制 $10011_2$ 补零分组（$0001\ 0011$）转为十六进制 $13_{16}$，结果一致。

最终结果：
$(19)_{10} = (10011)_2 = (13)_{16}$

解析

本题主要考查十进制数与二进制数、十六进制数之间的转换。解题思路是分别运用除 2 取余法将十进制数转换为二进制数，运用除 16 取余法将十进制数转换为十六进制数。

1. 十进制转二进制（除 2 取余法）

除 2 取余法的原理是：用十进制数不断除以 2，取每次的余数，直到商为 0，然后将余数从下往上排列，就得到了对应的二进制数。

  • 第一步：$19\div2 = 9\cdots\cdots1$，这里商是 9，余数是 1。
  • 第二步：$9\div2 = 4\cdots\cdots1$，商为 4，余数为 1。
  • 第三步：$4\div2 = 2\cdots\cdots0$，商是 2，余数是 0。
  • 第四步：$2\div2 = 1\cdots\cdots0$，商为 1，余数为 0。
  • 第五步：$1\div2 = 0\cdots\cdots1$，商是 0，余数是 1。
    将余数逆序排列，得到二进制数为$10011_2$。

2. 十进制转十六进制（除 16 取余法）

除 16 取余法的原理是：用十进制数不断除以 16，取每次的余数，直到商为 0，然后将余数从下往上排列，就得到了对应的十六进制数。

  • 第一步：$19\div16 = 1\cdots\cdots3$，商是 1，余数是 3。
  • 第二步：$1\div16 = 0\cdots\cdots1$，商为 0，余数为 1。
    将余数逆序排列，得到十六进制数为$13_{16}$。

另外，也可以先将十进制数转换为二进制数，再将二进制数转换为十六进制数。因为十六进制数的每一位对应二进制数的四位，所以将二进制数$10011_2$从右至左每四位一组进行划分，不足四位的在左边补 0，得到$0001\ 0011$。然后将每一组二进制数转换为对应的十六进制数，$0001_2 = 1_{16}$，$0011_2 = 3_{16}$，组合起来就是$13_{16}$，结果与除 16 取余法一致。