题目
证明：方程 x cdot 5^x - 1 = 0 在区间 (0,1) 内至少有一个实数根。
证明：方程 $x \cdot 5^x - 1 = 0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少有一个实数根。
题目解答
答案
定义函数 $f(x) = x \cdot 5^x - 1$，该函数在区间 $[0, 1]$ 上连续。
计算得：
\[
f(0) = 0 \cdot 5^0 - 1 = -1 < 0, \quad f(1) = 1 \cdot 5^1 - 1 = 4 > 0
\]
由于 $f(0)$ 和 $f(1)$ 符号相反，根据零点存在性定理（或介值定理），函数 $f(x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少有一个零点。
因此，方程 $x \cdot 5^x - 1 = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少有一个实数根。
\[
\boxed{\text{方程 } x \cdot 5^x - 1 = 0 \text{ 在区间 } (0, 1) \text{ 内至少有一个实数根。}}
\]
解析
本题考查零点存在性定理（或介值定理）的应用。解题思路是先构造一个与给定方程相关的函数，然后判断该函数在给定区间上的连续性，接着计算函数在区间端点处的值，最后根据零点存在性定理得出结论。
- 构造函数：
对于方程 $x \cdot 5^x - 1 = 0$，我们构造函数 $f(x)=x \cdot 5^x - 1$。 - 判断函数连续性：
因为函数 $y = x$ 是一次函数，在$R$上连续；函数 $y = 5^x$ 是指数函数，在$R$上连续。两个连续函数的乘积 $x\cdot5^x$ 仍然连续，再减去常数$1$后，函数 $f(x)=x \cdot 5^x - 1$ 在$R$上连续，所以$f(x)$在区间$[0,1]$上也连续。 - 计算区间端点的函数值：
- 当 $x = 0$ 时，根据指数运算法则 $a^0 = 1$（$a\neq0$），可得 $f(0)=0\times5^0 - 1$。
先计算 $5^0 = 1$，再计算 $0\times1=0$，最后 $0 - 1=-1$，即 $f(0)=-1\lt0$。 - 当 $x = 1$ 时，$f(1)=1\times5^1 - 1$。
先计算 $5^1 = 5$，再计算 $1\times5 = 5$，最后 $5 - 1 = 4$，即 $f(1)=4\gt0$。
- 当 $x = 0$ 时，根据指数运算法则 $a^0 = 1$（$a\neq0$），可得 $f(0)=0\times5^0 - 1$。
- 应用零点存在性定理：
零点存在性定理指出，如果函数 $y = f(x)$ 在闭区间$[a,b]$上连续，且 $f(a)\cdot f(b)\lt0$，那么在开区间$(a,b)$内至少存在一个点$\xi$，使得 $f(\xi)=0$。
由于 $f(0)\lt0$，$f(1)\gt0$，即 $f(0)\cdot f(1)\lt0$，且 $f(x)$ 在$[0,1]$上连续，所以函数 $f(x)$ 在区间$(0,1)$内至少有一个零点。
而函数 $f(x)$ 的零点就是方程 $x \cdot 5^x - 1 = 0$ 的实数根，因此方程 $x \cdot 5^x - 1 = 0$ 在区间$(0,1)$内至少有一个实数根。