题目
1.求下列排列的逆序数:-|||-(1)341782659;-|||-(2)987654321;-|||-(3) (n-1)... 321;-|||-(4) ... (2n-1)(2n)(2n-2)... 642
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算排列 $(1)341782659$ 的逆序数
排列 $(1)341782659$ 中，逆序对有：(3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (7,2), (7,6), (7,5), (8,2), (8,6), (8,5), (6,5)。共11个逆序对。
步骤 2：计算排列 $(2)987654321$ 的逆序数
排列 $(2)987654321$ 是从大到小排列，所以每个数都比它后面的数大，逆序数为：$8+7+6+5+4+3+2+1=36$。
步骤 3：计算排列 $(3)n(n-1)\cdots 321$ 的逆序数
排列 $(3)n(n-1)\cdots 321$ 也是从大到小排列，所以每个数都比它后面的数大，逆序数为：$(n-1)+(n-2)+\cdots +1=\dfrac{n(n-1)}{2}$。
步骤 4：计算排列 $(4)135\cdots (2n-1)(2n)(2n-2)\cdots 642$ 的逆序数
排列 $(4)135\cdots (2n-1)(2n)(2n-2)\cdots 642$ 中，奇数部分是从小到大排列，偶数部分是从大到小排列，所以逆序数为：$n(n-1)$。
排列 $(1)341782659$ 中，逆序对有：(3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (7,2), (7,6), (7,5), (8,2), (8,6), (8,5), (6,5)。共11个逆序对。
步骤 2：计算排列 $(2)987654321$ 的逆序数
排列 $(2)987654321$ 是从大到小排列，所以每个数都比它后面的数大，逆序数为：$8+7+6+5+4+3+2+1=36$。
步骤 3：计算排列 $(3)n(n-1)\cdots 321$ 的逆序数
排列 $(3)n(n-1)\cdots 321$ 也是从大到小排列，所以每个数都比它后面的数大，逆序数为：$(n-1)+(n-2)+\cdots +1=\dfrac{n(n-1)}{2}$。
步骤 4：计算排列 $(4)135\cdots (2n-1)(2n)(2n-2)\cdots 642$ 的逆序数
排列 $(4)135\cdots (2n-1)(2n)(2n-2)\cdots 642$ 中，奇数部分是从小到大排列，偶数部分是从大到小排列，所以逆序数为：$n(n-1)$。