题目

5.交换二次积分次序int_(0)^1dxint_(x^2)^xf(x,y)dy后，正确的是【】A.int_(0)^1dyint_(y^2)^yf(x,y)dx B.int_(0)^1dyint_(y)^y^(2)f(x,y)dxC.int_(0)^1dyint_(y)^sqrt(y)f(x,y)dx D.int_(0)^1dyint_(sqrt(y))^yf(x,y)dx

5.交换二次积分次序$\int_{0}^{1}dx\int_{x^{2}}^{x}f(x,y)dy$后，正确的是【】 A.$\int_{0}^{1}dy\int_{y^{2}}^{y}f(x,y)dx$ B.$\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{y^{2}}f(x,y)dx$ C.$\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{\sqrt{y}}f(x,y)dx$ D.$\int_{0}^{1}dy\int_{\sqrt{y}}^{y}f(x,y)dx$

题目解答

答案

要交换二次积分的次序，我们需要先确定原积分的积分区域，然后根据积分区域重新确定积分上下限。

第一步：确定积分区域
给定的二次积分为：
$\int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{x} f(x, y) dy$
这是一个先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分的二次积分（X-型区域）。
从积分限可以看出，积分区域 $D$ 由以下不等式组确定：
$0 \leq x \leq 1$
$x^2 \leq y \leq x$

第二步：分析积分区域的边界曲线
积分区域 $D$ 是由两条曲线 $y = x^2$ 和 $y = x$ 以及直线 $x = 0$ 和 $x = 1$ 围成的。
在区间 $[0, 1]$ 上，直线 $y = x$ 位于抛物线 $y = x^2$ 的上方。
这两条曲线的交点可以通过解方程 $x^2 = x$ 得到，即 $x(x - 1) = 0$，解得 $x = 0$ 和 $x = 1$。对应的交点为 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$。

第三步：交换积分次序
现在我们要将积分次序改为先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分（Y-型区域）。

  1. 确定 $y$ 的积分范围：
    观察区域 $D$，$y$ 的最小值为 $0$（在原点），最大值为 $1$（在点 $(1, 1)$）。因此，$y$ 的积分区间为 $[0, 1]$。
  2. 确定 $x$ 的积分范围：
    对于区间 $[0, 1]$ 内的任意一个固定的 $y$ 值，我们需要找到穿过该区域时 $x$ 的变化范围。
    作一条平行于 $x$ 轴的水平线 $y = \text{常数}$。这条线从左向右穿过区域 $D$。
    • 进入区域的边界是直线 $y = x$，即 $x = y$。
    • 穿出区域的边界是抛物线 $y = x^2$。因为 $x \geq 0$，所以 $x = \sqrt{y}$。
      因此，对于固定的 $y$，$x$ 的取值范围是 $y \leq x \leq \sqrt{y}$。

第四步：写出交换次序后的积分表达式
根据上述分析，交换积分次序后的二次积分为：
$\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{\sqrt{y}} f(x, y) dx$

第五步：对比选项

  • A. $\int_{0}^{1} dy \int_{y^2}^{y} f(x, y) dx$ （错误）
  • B. $\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{y^2} f(x, y) dx$ （错误）
  • C. $\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{\sqrt{y}} f(x, y) dx$ （正确）
  • D. $\int_{0}^{1} dy \int_{\sqrt{y}}^{y} f(x, y) dx$ （错误，积分下限大于上限）

综上所述，正确的选项是 C。

解析

本题考查二次积分交换积分次序的知识点。解题思路是先根据原二次积分确定积分区域，再分析该区域的边界曲线，然后将积分次序改为先对 $x$ 积分再对 $y$ 积分，确定新的积分上下限，最后写出交换次序后的积分表达式并与选项对比。

  1. 确定积分区域：
    给定二次积分$\int_{0}^{1}dx\int_{x^{2}}^{x}f(x,y)dy$，这是先对 $y$ 积分再对 $x$ 积分（$X -$型区域）。
    由积分限可知积分区域 $D$ 由不等式组$\begin{cases}0\leq x\leq 1\\x^{2}\leq y\leq x\end{cases}$确定。
  2. 分析积分区域的边界曲线：
    积分区域 $D$ 由曲线 $y = x^{2}$ 和 $y = x$ 以及直线 $x = 0$ 和 $x = 1$ 围成。
    在区间$[0,1]$上，直线 $y = x$ 在抛物线 $y = x^{2}$ 上方。
    联立$\begin{cases}y = x^{2}\\y = x\end{cases}$，即$x^{2}=x$，移项得$x^{2}-x = 0$，提取公因式$x$得$x(x - 1)=0$，解得$x = 0$或$x = 1$，对应的交点为$(0,0)$和$(1,1)$。
  3. 交换积分次序：
    改为先对 $x$ 积分再对 $y$ 积分（$Y -$型区域）。
    • 确定 $y$ 的积分范围：
      观察区域 $D$，$y$ 的最小值为 $0$，最大值为 $1$，所以 $y$ 的积分区间为$[0,1]$。
    • 确定 $x$ 的积分范围：
      对于区间$[0,1]$内固定的 $y$ 值，作平行于 $x$ 轴的水平线 $y=$常数。
      进入区域的边界是直线 $y = x$，即 $x = y$；穿出区域的边界是抛物线 $y = x^{2}$，因为 $x\geq0$，所以 $x=\sqrt{y}$。
      因此，对于固定的 $y$，$x$ 的取值范围是$y\leq x\leq\sqrt{y}$。
  4. 写出交换次序后的积分表达式：
    根据上述分析，交换积分次序后的二次积分为$\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{\sqrt{y}}f(x,y)dx$。
  5. 对比选项：
    A选项$\int_{0}^{1}dy\int_{y^{2}}^{y}f(x,y)dx$错误；
    B选项$\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{y^{2}}f(x,y)dx$错误；
    C选项$\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{\sqrt{y}}f(x,y)dx$正确；
    D选项$\int_{0}^{1}dy\int_{\sqrt{y}}^{y}f(x,y)dx$错误，因为积分下限大于上限。