题目

设z=z(x,y)由x^2+y^2+z^2=1所确定，则(partial z)/(partial x)|_((0,0,1))=

设$z=z(x,y)$由$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$所确定，则$\frac{\partial z}{\partial x}|_{(0,0,1)}=$

题目解答

答案

我们已知函数 $ z = z(x, y) $ 是由方程
$x^2 + y^2 + z^2 = 1$
所隐式定义的。要求的是偏导数 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 在点 $ (0, 0, 1) $ 处的值。

第一步：隐函数求导法

方程：
$F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$

这是一个由隐函数定义的曲面，我们可以使用隐函数求导公式来求偏导数。

对于由 $ F(x, y, z) = 0 $ 确定的隐函数 $ z = z(x, y) $，其对 $ x $ 的偏导数为：
$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$

第二步：计算偏导数

先计算 $ F $ 的偏导数：

  • $ \frac{\partial F}{\partial x} = 2x $
  • $ \frac{\partial F}{\partial z} = 2z $

代入公式：
$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{2z} = -\frac{x}{z}$

第三步：代入点 $ (0, 0, 1) $

注意：题目中给出的是在点 $ (0, 0, 1) $，即 $ x = 0, y = 0, z = 1 $。

代入：
$\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(0,0,1)} = -\frac{0}{1} = 0$

最终答案：

$\boxed{0}$

解析

本题考查隐函数求偏导数的知识点。解题思路是先将给定的方程转化为隐函数的一般形式 $F(x,y,z)=0$，然后利用隐函数求导公式 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$ 来计算偏导数，最后将给定的点 $(0,0,1)$ 代入求出偏导数在该点的值。

  1. 确定隐函数形式：
    已知方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$，令 $F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1$，则原方程可表示为 $F(x,y,z) = 0$。
  2. 计算 $F$ 关于 $x$ 和 $z$ 的偏导数：
    • 根据求导公式 $(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对 $F(x,y,z)$ 关于 $x$ 求偏导数，此时把 $y$ 和 $z$ 看作常数，则 $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1)$。
      因为 $\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) = 2x$，$\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}) = 0$，$\frac{\partial}{\partial x}(z^{2}) = 0$，$\frac{\partial}{\partial x}(-1)=0$，所以 $\frac{\partial F}{\partial x}=2x$。
    • 对 $F(x,y,z)$ 关于 $z$ 求偏导数，此时把 $x$ 和 $y$ 看作常数，则 $\frac{\partial F}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1)$。
      因为 $\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}) = 0$，$\frac{\partial}{\partial z}(y^{2}) = 0$，$\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) = 2z$，$\frac{\partial}{\partial z}(-1)=0$，所以 $\frac{\partial F}{\partial z}=2z$。
  3. 计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$：
    将 $\frac{\partial F}{\partial x}=2x$ 和 $\frac{\partial F}{\partial z}=2z$ 代入隐函数求导公式 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$，可得 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x}{2z}=-\frac{x}{z}$。
  4. 代入点 $(0,0,1)$ 求值：
    把 $x = 0$，$z = 1$ 代入 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{z}$，得到 $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(0,0,1)}=-\frac{0}{1}=0$。