A 是一个三阶实矩阵，它的特征值 λ1 ， λ2 ， λ3 互不相同， α1 ， α2 ， α3 分别是相应的特征向量，则下述结论正确的是 () A. A 一定相似于对角阵 B. A 可逆 C. α1 ， α2 ， α3 相互正交 D. α1 ， α2 ， α3 可能线性相关

考查要点：本题主要考查矩阵特征值与特征向量的性质，特别是不同特征值对应的特征向量的线性相关性、矩阵可对角化的条件、矩阵可逆的条件，以及特征向量的正交性。

解题核心思路：

1. 不同特征值对应的特征向量线性无关：若矩阵有n个不同的特征值，则对应的特征向量线性无关，且矩阵可对角化。
2. 矩阵可逆的条件：矩阵可逆当且仅当其行列式不为零，而行列式等于所有特征值的乘积。
3. 特征向量的正交性：仅当矩阵为实对称矩阵时，不同特征值对应的特征向量正交；一般矩阵不保证正交性。

破题关键点：

• 选项A：利用不同特征值对应的特征向量线性无关，可构造相似变换矩阵。
• 选项B：需验证特征值是否全非零。
• 选项C：明确正交性依赖于矩阵的特殊结构（如实对称）。
• 选项D：直接由特征向量线性无关性否定。

选项A分析

关键结论：若矩阵有n个不同的特征值，则其对应的特征向量线性无关，且矩阵可对角化。
由于A是三阶实矩阵，且特征值$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$互不相同，因此$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关。取矩阵$P = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，则$P$可逆，且$P^{-1}AP$为对角阵。因此选项A正确。

选项B分析

关键结论：矩阵可逆当且仅当其行列式非零，而$|A| = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3$。
若存在某个$\lambda_i = 0$，则$|A| = 0$，此时A不可逆。题目未说明特征值均非零，因此选项B不一定成立。

选项C分析

关键结论：仅当矩阵为实对称矩阵时，不同特征值对应的特征向量正交。
题目中A仅为实矩阵，未说明是对称矩阵，因此$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$不一定正交，选项C错误。

选项D分析

关键结论：不同特征值对应的特征向量线性无关。
由于$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$互不相同，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$必然线性无关，因此选项D错误。