题目
直线 (x-2)/(1)=(y+1)/(-2)=(z)/(2) 与平面 2x-4y+3z=2 的位置关系为 ________A. 平行B. 垂直C. 斜交D. 见图片
直线 $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{2}$ 与平面 $2x-4y+3z=2$ 的位置关系为 ________
A. 平行
B. 垂直
C. 斜交
D. 见图片
题目解答
答案
D. 见图片
解析
步骤 1：确定直线的方向向量
直线 $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{2}$ 的方向向量为 $\overrightarrow{m} = (1, -2, 2)$。
步骤 2：确定平面的法向量
平面 $2x-4y+3z=2$ 的法向量为 $\overrightarrow{n} = (2, -4, 3)$。
步骤 3：判断直线与平面的位置关系
1. 判断是否平行：若 $\overrightarrow{m} = k \overrightarrow{n}$，则直线与平面平行。但这里 $\overrightarrow{m} \neq k \overrightarrow{n}$，因为没有一致的 $k$ 值使得 $\overrightarrow{m}$ 成为 $\overrightarrow{n}$ 的倍数。
2. 判断是否垂直：若 $\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 0$，则直线与平面垂直。计算 $\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-4) + 2 \cdot 3 = 2 + 8 + 6 = 16 \neq 0$，故直线与平面不垂直。
3. 结论：直线与平面斜交。
直线 $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{2}$ 的方向向量为 $\overrightarrow{m} = (1, -2, 2)$。
步骤 2：确定平面的法向量
平面 $2x-4y+3z=2$ 的法向量为 $\overrightarrow{n} = (2, -4, 3)$。
步骤 3：判断直线与平面的位置关系
1. 判断是否平行：若 $\overrightarrow{m} = k \overrightarrow{n}$，则直线与平面平行。但这里 $\overrightarrow{m} \neq k \overrightarrow{n}$，因为没有一致的 $k$ 值使得 $\overrightarrow{m}$ 成为 $\overrightarrow{n}$ 的倍数。
2. 判断是否垂直：若 $\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 0$，则直线与平面垂直。计算 $\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-4) + 2 \cdot 3 = 2 + 8 + 6 = 16 \neq 0$，故直线与平面不垂直。
3. 结论：直线与平面斜交。