一球形电容器,由两个同心的导体球壳所组成,内球壳半径为a,外球壳半径为b,求电容器的电容.

考查要点：本题主要考查球形电容器的电容计算，涉及高斯定理的应用、电势差的积分计算以及电容定义式的运用。

解题核心思路：

1. 电荷分布分析：内球壳外表面带电$+Q$，外球壳内表面带电$-Q$，外球壳外表面带电$+Q$。
2. 电场强度计算：利用高斯定理求出两球壳间（$a < r < b$）的电场强度$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$。
3. 电势差计算：通过电场强度对径向距离$r$积分，得到两球壳间的电势差$U = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$。
4. 电容公式推导：结合电容定义式$C = \frac{Q}{U}$，最终得到电容表达式。

破题关键点：

• 对称性应用：利用高斯定理简化电场计算。
• 积分路径选择：正确选择从内球壳表面到外球壳表面的积分路径。
• 电势差方向：注意电势差的正负号与积分方向的关系。

电荷分布与电场强度

1. 电荷分布：
   内球壳外表面带电$+Q$，外球壳内表面带电$-Q$，外球壳外表面带电$+Q$（保证外球壳总电荷为$+Q$）。
2. 电场强度计算：
   在两球壳间（$a < r < b$），取半径为$r$的同心高斯面，由高斯定理得：
   $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \implies E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}.$

电势差计算

电势差$U$为内球壳电势与外球壳电势之差：
$U = -\int_a^b \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} dr = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right).$

电容公式推导

根据电容定义式$C = \frac{Q}{U}$，代入电势差表达式：
$C = \frac{Q}{\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)} = \frac{4\pi \varepsilon_0}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{4\pi \varepsilon_0 ab}{b - a}.$