当 x arrow 0 时,下列无穷小与 x 等价的是().A. cos x - 1B. e^2x - 1C. ln(1-x)D. 1 - sqrt(1-2x)

考查要点：本题主要考查等价无穷小的判断，需要掌握常见函数在$x \rightarrow 0$时的泰勒展开或等价替换形式，并能通过展开或变形比较不同无穷小的阶数。

解题核心思路：

1. 等价无穷小定义：若$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，则$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小。
2. 关键方法：对每个选项进行泰勒展开或有理化变形，保留到$x$的一阶项，比较其与$x$的比值是否为1。

破题关键点：

• 选项D通过有理化变形可化简为$x$的一阶项，与$x$等价；
• 其余选项展开后均与$x$的比值不为1。

选项分析

A. $\cos x - 1$

$\cos x$的泰勒展开为$1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，因此：
$\cos x - 1 \approx -\frac{x^2}{2}$
与$x$的比值为$\frac{-\frac{x^2}{2}}{x} = -\frac{x}{2} \rightarrow 0$，不是等价无穷小。

B. $e^{2x} - 1$

利用等价无穷小$e^y - 1 \sim y$（当$y \rightarrow 0$），令$y = 2x$，则：
$e^{2x} - 1 \sim 2x$
与$x$的比值为$\frac{2x}{x} = 2 \neq 1$，不是等价无穷小。

C. $\ln(1 - x)$

泰勒展开$\ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \cdots$，因此：
$\ln(1 - x) \approx -x$
与$x$的比值为$\frac{-x}{x} = -1 \neq 1$，不是等价无穷小。

D. $1 - \sqrt{1 - 2x}$

有理化变形：
$\begin{aligned}1 - \sqrt{1 - 2x} &= \frac{(1 - \sqrt{1 - 2x})(1 + \sqrt{1 - 2x})}{1 + \sqrt{1 - 2x}} \\&= \frac{1 - (1 - 2x)}{1 + \sqrt{1 - 2x}} \\&= \frac{2x}{1 + \sqrt{1 - 2x}}.\end{aligned}$
当$x \rightarrow 0$时，$\sqrt{1 - 2x} \approx 1 - x$，分母$1 + \sqrt{1 - 2x} \approx 2$，因此：
$1 - \sqrt{1 - 2x} \approx \frac{2x}{2} = x.$
与$x$的比值为$\frac{x}{x} = 1$，是等价无穷小。